- •Розділ 3. Аналітична геометрія
- •3.1. Рівняння лінії на площині
- •3.2. Рівняння поверхні у декартових координатах. Рівняння лінії в просторі
- •3.3. Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку. Різні форми рівняння площини
- •3.4. Кут між двома площинами. Відстань від точки до площини
- •2. Відстань від точки до площини.
- •3.5. Пряма в просторі. Способи завдання прямої
- •3.6. Кут між двома прямими. Кут між прямою і площиною
- •3.7. Точка перетину прямої і площини
- •3.8. Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку. Різні форми рівняння прямої на площині
- •3.9. Кут між двома прямими
- •3.10. Алгебраїчні лінії другого порядку
- •Відношення
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •3.11. Канонічні рівняння алгебраїчних поверхонь другого порядку
- •4. Конус другого порядку.
- •5. Еліптичний параболоїд.
- •6. Гіперболічний параболоїд.
- •7. Циліндричні поверхні. Циліндри другого порядку.
- •3.12. Лінійчаті поверхні і поверхні обертання
3.10. Алгебраїчні лінії другого порядку
-
Еліпс.
Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (які називаються фокусами еліпса) є величина стала.
Рис.
3.
15
F1М =, F2М =.
Згідно з означенням еліпса точка М(х;у) належить до даного еліпса тоді і тільки тоді, якщо
+ = 2а. (3.47)
По суті це і є рівняння еліпса, але щоб переконатися, що перед нами алгебраїчна лінія 2 порядку, проведемо кілька перетворень.
Перенесемо другий радикал у праву частину і піднесемо обидві частини до квадрату:
= 2а –
(х + с)2 + у2 = 4а2 – 4а+ (х – с)2 + у2
х2 + 2сх + с2 + у2 = 4а2 – 4а+ х2 –2сх +с2 + у2
4а= 4а2 – 4сх
а= а2 – сх.
Знову піднесемо обидві частини до квадрату і проведемо спрощення:
а2 (х2 –2сх +с2 + у2) = а4 – 2а2сх + с2х2
(а2 – с2)х2 + а2у2 = а2(а2 – с2).
Позначимо а2 – с2 = b2 (а2 – с2 > 0, бо с < а) і поділимо обидві частини рівняння почленно на а2b2:
. (3.48)
Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса. Можна довести, що воно еквівалентне рівнянню (3.47).
Розглянемо основні властивості еліпса, які випливають з його канонічного рівняння.
-
Еліпс є алгебраїчною лінією другого порядку.
-
Якщо точка М( х; у) належить до еліпса, то і точки М1( –х; у), М2( х; –у), М3( –х; –у) теж належать до еліпса (тому що координати х і у входять у рівняння еліпса в парному степені). Це означає, що осі Ох і Оу є осями симетрії еліпса, а точка їх перетину – центром симетрії (рис. 3.15).
-
Оскільки і , то , , тобто еліпс – обмежена лінія.
-
Еліпс перетинає вісь абсцис у точках (–а;0) і (а;0), а вісь ординат – у точках (0;b) і (0;–b). Ці точки називаються вершинами еліпса. Величини а і b називаються відповідно великою і малою півосями еліпса.
Відношення
(3.49)
називають ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет характеризує ступінь сплюснутості еліпса. Якщо 0, то b а, і ми одержуємо рівняння кола радіуса а:
або х2 + у2 = а2,
тобто коло можна розглядати як граничний випадок еліпса з нульовим ексцентриситетом. Якщо 1, то це означає, що b 0, тобто еліпс сплющується до відрізка –а; а.
Прямі і , паралельні осі Оу, називають директрисами еліпса. Якщо позначимо через r1 і r2 відстані будь-якої точки еліпса від фокусів, а через d1 і d2 – відстані тієї ж точки від відповідних директрис (рис. 3.15), то мають місце рівності
. (3.50)
Рівності (3.50) є визначальними для еліпса, тобто еліпс можна визначити як множину точок площини, відношення відстані яких від даної точки (фокуса) до відстані від даної прямої (директриси) є стала величина (0;1).
Відношення називається фокальним параметром еліпса. Легко бачити, що еліпс повністю визначається значеннями параметра p і ексцентриситету .
Справді
, звідки
, , тобто а і с однозначно виражаються через p і . Зазначимо, що відстань від фокуса до відповідної директриси дорівнює .
Рівняння
(3.51)
є рівнянням еліпса, центр якого міститься в точці .