- •Розділ 3. Аналітична геометрія
- •3.1. Рівняння лінії на площині
- •3.2. Рівняння поверхні у декартових координатах. Рівняння лінії в просторі
- •3.3. Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку. Різні форми рівняння площини
- •3.4. Кут між двома площинами. Відстань від точки до площини
- •2. Відстань від точки до площини.
- •3.5. Пряма в просторі. Способи завдання прямої
- •3.6. Кут між двома прямими. Кут між прямою і площиною
- •3.7. Точка перетину прямої і площини
- •3.8. Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку. Різні форми рівняння прямої на площині
- •3.9. Кут між двома прямими
- •3.10. Алгебраїчні лінії другого порядку
- •Відношення
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •3.11. Канонічні рівняння алгебраїчних поверхонь другого порядку
- •4. Конус другого порядку.
- •5. Еліптичний параболоїд.
- •6. Гіперболічний параболоїд.
- •7. Циліндричні поверхні. Циліндри другого порядку.
- •3.12. Лінійчаті поверхні і поверхні обертання
3.8. Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку. Різні форми рівняння прямої на площині
Найбільш загальним виглядом рівняння алгебраїчної лінії першого порядку є
Ах + Ву + С = 0, (3.30)
де А, В, С – числа, при чому принаймні одне з чисел А і В не дорівнює нулю. Покажемо, що будь-яка пряма є лінією першого порядку, тобто рівняння будь-якої прямої можна записати у вигляді (3.30).
Рис.
3.
11
А(х – х0) + В(у – у0) = 0. (3.31)
Рівняння (3.31) називають рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором. Це рівняння можна записати у вигляді
Ах + Ву – ( Ах0 + Ву0) = 0,
тобто у вигляді (3.30), якщо позначити
– ( Ах0 + Ву0) = С.
Пряма (l) узята цілком довільно. Отже, усяка пряма є алгебраїчною лінією першого порядку. В ході наших міркувань з’ясувалося, що в рівнянні (3.30) коефіцієнти А і В є не що інше, як координати нормального вектора прямої. Повторюючи наші міркування в зворотному порядку, читач легко переконається, що в свою чергу будь-яка алгебраїчна лінія першого порядку є пряма. Тому рівняння (3.30) називають загальним рівнянням прямої.
У різних задачах по-різному формулюються умови, які визначають задану або шукану пряму. Отже і форму рівняння цієї прямої доцільно обирати відповідно до умов задачі.
Рівняння прямої за точкою і напрямним вектором.
Нехай ненульовий вектор = (m,n) є напрямним вектором прямої (l), тобто він колінеарний до цієї прямої (║(l)) (рис. 3.9).
Нехай М0(х0;у0) – будь-яка (фіксована) точка прямої (l). Всяка інша точка М( х; у) належить до прямої (l) тоді і лише тоді, коли вектори = ( х – х0; у – у0), і паралельні, отже їх координати пропорціональні (п. 2.4, формула (2.6)):
. (3.32)
Це рівняння, яке визначає пряму за точкою і напрямним вектором, називають також канонічним рівнянням прямої. Позначимо коефіцієнт пропорційності в рівнянні (3.32) через t:
, .
Звідси маємо:
(3.33)
Це – параметричні рівняння прямої (l). Коли параметр t змінюється від –∞ до +∞, точка, координати якої визначаються рівняннями (3.33), пробігає всю пряму (l).
Рівняння прямої за двома точками.
Нехай М0(х0;у0) і М1(х1;у1) – дві точки прямої (l). Тоді вектор = (х1 – х0;у1 – у0) лежить на цій прямій і є її напрямним вектором. На підставі формули (3.32) рівняння прямої (l) можна записати у вигляді
. (3.34)
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Рис.
3.
24
у = kx + b, (3.35)
де ,
Це рівняння називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. У рівнянні (3.35) коефіцієнт k = tg α (рис. 3.12), де α – кут між додатним напрямом осі Ох і прямою (l), тому його й називають кутовим коефіцієнтом прямої. Вільний член b у рівнянні (3.35) є ордината точки перетину прямої з віссю Оу (рис. 3.12).
Якщо відомі координати точки М0(х0;у0), яка лежить на прямій (l), то, підставляючи ці координати в рівняння (3.35), одержимо вірну рівність:
у0 = kx0 + b.
Віднімаючи почленно цю рівність від (3.35), отримуємо:
у – у0 = k(х – x0). (3.36)
Це – рівняння прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом.