- •Курс лекций
- •Содержание
- •Введение
- •Составление физической модели машины.
- •1. Составление физической модели машины
- •1.1 Общие положения
- •Р ис. 2. Двухмассовая система
- •Р ис. 3. Смешанная двухмассовая модель
- •1.2. Определение моментов инерции вращающихся масс
- •1.3. Приведение сосредоточенных масс и моментов инерции масс
- •1.4. Приведение распределенных (рассредоточенных) масс
- •1.4.2. Консольная балка
- •1.4.3. Двухопорная балка постоянного сечения
- •1.5. Определение жесткости элементов, механизмов и машин
- •Формулы для определения приведенных масс
- •1.6. Приведение жесткостей системы
- •Формулы для определения жесткости элементов систем*
- •Продолжение табл. 2
- •Продолжение табл. 2
- •Продолжение табл. 2
- •1.7. Определение суммарной жесткости системы
- •1.8. Собственная частота колебаний системы
- •1.9. Определение величины и характера изменения внешних нагрузок
- •1.9.1. Движущие силы
- •1.9.2. Технологические нагрузки
- •2. Общие решения уравнений динамики жестких систем
- •3. Общие приемы решения уравнений динамики упругих систем
- •4. Динамика переходных процессов ненагруженных машин
- •5. Динамика переходных процессов нагруженных машин
- •5.1. Мгновенное приложение нагрузки
- •5.2. Пуск при постоянной нагрузке
- •6. Динамика нагружения машин после разгона
- •6.1. Изменение внешней нагрузки в функции угла поворота
- •Из первого уравнения получим
- •6.2.2. Если изменение внешней нагрузки пропорционально квадрату времени (по параболическому закону), то
- •6.3. Периодическое нагружение системы
- •7. Динамические нагрузки от ударов в зазорах
- •8. Колебания в приводных линиях
- •8.1. Вал с одной массой
- •Р ис. 23. Вал с одной массой
- •8.2. Вал с двумя массами
- •9. Динамика установившегося движения неравновесных систем
- •10. Колебание опорных конструкций и элементов
- •11. Определение параметров виброгасителя
- •12. Ударное нагружение конструкций и механизмов
- •12.1. Удар при падении груза
- •12.2. Ударное нагружение одномассовой системы
- •12.3. Ударное нагружение двухмассовой системы
- •13. Автоколебания систем
- •14. Составление уравнений динамики упругих систем с распределенными массами (волновые уравнения)
- •15. Способы решения волновых уравнений
- •16. Ударное нагружение элементов машин, представляемых в виде систем с распределенными массами
- •16.1. Продольный удар
- •16.2. Поперечный удар
2. Общие решения уравнений динамики жестких систем
Задачи динамики жестких систем заключаются в том, чтобы по заданным силам или моментам определить закон движения системы (положение - x или , скорости или и ускорения или в любой момент времени) или по заданному закону движения определить силы, под действием которых оно происходит.
Жесткие системы могут быть представлены в виде одной приведенной массы (момента инерции массы), движущейся под действием приведенной силы (момента).
Приведенные силы могут зависеть от координаты x, скорости и времени t. Величина приведенной массы также может быть переменной и зависеть от положения (координаты x).
Обозначим переменные приведенную силу и приведенную массу .
При рассмотрении системы как жесткой, её элементы не деформируются при действии сил и моментов.
Пусть в момент времени отсчета t0 скорость движения приведенной массы m равна 0. Тогда работа внешней силы для поступательно движущейся массы равна
, (63)
скорость движения
, (64)
ускорение
, (65)
координата
. (66)
При заданных координатах из формулы (64)
, (67)
откуда
. (68)
Для вращающихся масс результаты выводов аналогичны при использовании координаты , скорости , момента инерции массы I и момента силы в приведенных выше формулах.
Приемы интегрирования дифференциального уравнения движения жесткой системы связаны с характером функций , , , . Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
1) Масса системы ,
Движущая сила .
Скорость из формулы (64) будет равна
. (69)
Возведя обе части в квадрат и дифференцируя по t, найдем ускорение
, (70)
или
. (71)
Выражение (71) является вторым законом Ньютона в упрощенном виде.
Представив выражение (69) в виде
, (72)
получим
, (73)
откуда
, (74)
а скорость приведенной массы
. (75)
Если начальная скорость , то формулы (73), (74) и (75) примут вид
, (76)
, (77)
. (78)
Аналогичные формулы получаются и для вращающейся массы.
2) Момент инерции массы ,
движущий момент изменяется в функции угла поворота по закону
,
где – текущая угловая координата, а
– угол, соответствующий максимальному значению , равному M, причем .
Угловая скорость равна
, (79)
откуда
, (80)
. (81)
Преобразуя выражение (81), получим
, (82)
или
, (83)
откуда
. (84)
Возводя обе части равенства (84) в квадрат, решая относительно и дифференцируя по t, получаем
, (85)
, (86)
. (87)
3) Момент инерции массы , движущий момент изменяется в функции скорости .
Пусковые характеристики электродвигателей часто принимают линейными. При этом момент может быть выражен в виде
, (88)
где M – наибольший приведенный пусковой момент,
– наибольшая скорость приведенной массы.
Для краткости выводов примем .
Тогда из (64)
, (89)
откуда
, (90)
или, заменив , получим
,
откуда
(91)
и
. (92)
Решая относительно , найдем
. (93)
Дифференцируя и интегрируя, получаем
, (94)
. (95)
4) Момент инерции массы , движущий момент изменяется в функции времени .
При разгоне электродвигателя с контакторным управлением
, (96)
где M – максимальный пусковой момент;
– время разгона.
Для рассматриваемого случая
, (97)
откуда аналогично предыдущим решениям получим
, (98)
, (99)
. (100)