3.7. Факторный анализ

Во многих случаях перед разработчиком теста встает задача «сжатия» информа­ции или, иначе говоря, компактного описания изучаемых явлений при наличии множества наблюдений или переменных. Факторный анализ как раз и является методом снижения размерности изучаемого многомерного явления.

Напомним читателю, что факторный анализ зародился в психологической на­уке и связан в первую очередь с исследованиями Ч. Спирмена (Spearman, 1904). Последующими работами таких выдающихся психологов, как Т. Келли, Л. Тер-

стоуна, Дж. Гилфорда и Р. Кэттелла, а также математиков К. Пирсона, К. Холзин-гера, Г. Хармана и др., был достигнут значительный успех в математическом обо­сновании факторного анализа, и этот метод начинает активно применяться в раз­личных науках.

Как хорошо известно, одной из типичных форм представления эксперимен­тальных данных является матрица, столбцы которой соответствуют, например, различным тестам (заданиям тестов), а строки — отдельным результатам (значе­ниям), полученным в результате их применения. Визуальный анализ сколь-ни-будь значительной по величине матрицы невозможен, а поэтому требуется исход­ную информацию сжать, извлечь из нее наиболее важное, существенное. Прежде всего исследователю необходимо получить корреляционную матрицу (подсчет ко­эффициентов корреляции).

Воспользуемся в качестве примера исследованием Л. Айкена (Aiken, 1996). В этом исследовании 90 студентов колледжа просили оценить преподавателя с по­мощью пятибалльной шкалы (1 — низший балл, 5 — высший) по 11 параметрам: тактичность, вежливость, креативность, доброжелательность, увлеченность сво­им предметом, знание предмета, способность мотивировать студентов, организо­ванность, терпеливость, подготовленность и пунктуальность.

Если поделить матрицу корреляций рейтинговых оценок, данных студентами по списку качеств личности преподавателя (табл. 3.4) на два равных треугольни­ка, проведя диагональ из левого верхнего угла в правый нижний угол, то можно увидеть, что это — симметричная матрица, в которой первая верхняя строка со­стоит из тех же оценок, что и первая колонка. Аналогично вторая строка включает те же самые элементы, что и вторая колонка, и т. д. Также нужно обратить внима­ние на то, что все числа на основной диагонали (начиная сверху слева вплоть до чисел внизу справа) равны +1,00 — это предполагаемая корреляция каждого за­дания шкалы с самим собой.

В психологическом тестировании цель факторного анализа заключается в том, чтобы найти несколько фундаментальных факторов, которые объясняли бы боль­шую часть дисперсии в группе оценок по различным тестам или другим психомет­рическим измерениям. В вышерассмотренном примере — 11 переменных, поэто­му для него задача факторного анализа заключается в том, чтобы найти матрицу факторных нагрузок или корреляции между факторами и заданиями шкалы. Су­ществует несколько процедур факторного анализа, но все они предполагают две стадии: 1) факторизацию матрицы корреляций, с тем чтобы получилась первона­чальная факторная матрица; 2) вращение факторной матрицы, с тем чтобы обна­ружить наиболее простую конфигурацию факторных нагрузок (см. табл. 3.4).

Стадия факторизации в этом процессе призвана определить количество фак­торов, необходимых для объяснения связей между различными тестами, и обес­печивает получение первичных оценок нагрузки (веса) каждого теста по каждо­му фактору. Вращение факторов необходимо для того, чтобы сделать их более по­нятными (интерпретируемыми) с помощью создания конфигурации факторов, в которой совсем немного тестов имеют высокие нагрузки, тогда как большая часть тестов имеют низкие нагрузки по любому фактору.

164 Глава 3. Психометрические основы психодиагностики: основные этапы...

Таблица 3.4

Образец матрицы корреляций между 11 заданиями шкалы

для оценки личности преподавателя

Задание	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1,000	0,727	0,424	0,573	0,343	0,294	0,458	0,200	0,425	0,091	0,078
2	0,727	1,000	0,304	0,620	0,287	0,258	0,363	0,075	0,459	0,115	0,127
3	0,424	0,304	1,000	0,470	0,510	0,080	0,691	0,206	0,304	0,129	0,112
4	0,573	0,620	0,470	1,000	0,336	0,195	0,390	0,061	0,528	0,026	0,022
5	0,343	0,287	0,510	0,336	1,000	0,171	0,638	0,374	0,203	0,243	0,244
6	0,294	0,258	0,080	0,195	0,171	1,000	0,108	0,227	0,159	0,490	0,430
7	0,458	0,363	0,691	0,390	0,638	0,108	1,000	0,218	0,314	0,108	0,065
8	0,200	0,075	0,206	0,061	0,374	0,227	0,218	1,000	00,85	0,524	0,421
9	0,425	0,459	0,304	0,528	0,203	0,159	0,314	0,085	1,000	0,114	0,187
10	0,091	0,115	0,129	0,026	0,243	0,490	0,108	0,524	0,114	1,000	0,611
11	00,78	0,127	0,112	0,022	0,244	0,430	0,065	0,421	0,187	0,611	1,000

Одна из наиболее известных процедур факторизации — метод главных осей (principal axis), а самая популярная процедура вращения — варимакс вращение¹.

Из табл. 3.5 видно, что выделяются три фактора, они представлены в колон­ках, обозначенных А, В, С. Величины, записанные под колонкой каждого факто­ра, — корреляции или нагрузки каждого из 11 заданий по этому фактору.

Например, задание 1 имеет нагрузку по фактору Л равную 0,754; - 0,271 по фак­тору В; и 0,250 по фактору С. Сумма квадратов нагрузок по каждому из факторов позволяет определить долю дисперсии этого задания. Таким образом, доля дис­персии задания 1 равна:

(0.754)² +(-0,271)² +(0,250)² =0,704.

Это означает, что 70,4 % вариаций показателей по заданию 1 объясняется дей­ствием этих трех факторов.

Факторно-аналитический подход позволяет также оценить надежность теста. Как известно, полная дисперсия теста равна сумме дисперсий для общих факто­ров, плюс дисперсии специфических факторов, плюс дисперсия погрешности. Следовательно, если мы осуществим факторный анализ теста, возведем в квадрат и суммируем нагрузки его факторов, то мы получим его надежность, поскольку нагрузки факторов представляют корреляцию теста с общими или специфиче­скими факторами. Однако следует помнить, что такой способ установления на­дежности более всего подходит для уже факторизованного теста, нежели для тес­тов, которые могут измерять широкий набор разных факторов, часть которых мо­гут и не входить в батарею изучаемых исследователем.

¹ По вполне понятным причинам здесь опущены этапы ручной факторизации матрицы, поскольку в настоящее время для этой цели используются различные компьютерные программы. Для читателя, желающего ознакомиться подробно с процедурой факторизации матрицы и ее вращением, рекомен­дуем обратиться к книге: Окунь Я. Факторный анализ / Пер. с польск.; Под ред. Г. 3. Давидовича. — М.: Статистика, 1974.

Таблица 3.5

Матрица факторных весов с вращением и без вращения рейтинговых оценок по шкале оценки личности преподавателя (данные получены с помощью программы SPSS^A)

Задание			Факторные веса
	Матрица до вращения			Матрица	после вращения		Доля
	А	В	С	А'	В'	С"
1	0,754	-0,271	0,250	0,783	0,090	0,288	0,704
2	0,708	-0,281	0,415	0,853	0,089	0,131	0,752
3	0,689	-0,206	-0,440	0,303	0,015	0,786	0,710
4	0,702	-0,392	0,240	0,790	-0,041	0,280	0,704
5	0,674	0,063	-0,500	0,148	0,243	0,792	0,708
6	0,442	0,477	0,402	0,353	0,669	-0,113	0,585
7	0,714	-0,216	-0,485	0,298	0,009	0,838	0,791
8	0,434	0,573	-0,257	-0,082	0,649	0,392	0,582
9	0,594	-0,201	0,330	0,691	0,102	0,120	0,502
10	0,408	0,769	0,063	0,011	0,867	0,100	0,762
11	0,388	0,718	0,122	0,052	0,822	0,048	0,681

Факторная матрица после вращения представлена в колонках А',В'иС табли­цы. Доля дисперсии каждого задания та же самая, что и в факторной матрице до вращения факторов, но факторы, полученные после вращения, легче интерпрети­ровать, чем в матрице до вращения. Вращение варимакс является процедурой ор­тогонального вращения, в которой факторные оси остаются перпендикулярны­ми друг к другу. В противоположность этой процедуре факторные оси при обличе-ском (косоугольном) вращении формируют острые или тупые углы по отношению друг к другу. Ортогональные факторы обычно легче интерпретировать, чем ко­соугольные, поскольку эти факторы не коррелируют друг с другом (независимы).

При интерпретации факторной матрицы после вращения следует обратить особое внимание на задания, которые имеют вес 0,50 и выше по данному фактору. Четыре задания — 1 (тактичный), 2 (вежливый), 4 (доброжелательный) и 9 (тер­пеливый) — имеют высокие нагрузки по фактору А'. Соответственно подходящим названием для этого фактора могло бы быть такое обозначение, как «деликат­ность» или «вежливость». Еще четыре задания имеют высокие нагрузки, но уже по фактору В': 6 (осведомленный), 8 (организованный), 10 (подготовленный) и 11 (пунктуальный), значит, соответствующим наименованием фактора В'могло бы быть «готовность». Наконец, три задания имеют высокие нагрузки по факто­ру С": 3 (креативный), 5 (увлеченный) и 7 (способный мотивировать); подходя­щим обозначением этого фактора могло бы быть — «стимулирующий» или «мо­тивирующий». Эти три фактора приобретают психологический смысл при опре­делении типа личности преподавателя, который предпочитают студенты.

SPSS — Статистический пакет для социальных наук (Statistical Package for the Social Sciences).

166 Глава 3. Психометрические основы психодиагностики: основные этапы.-

Безусловно, имеется гораздо больше приложений для факторного анализа, чем те, на которых мы остановились. Сегодня факторному анализу посвящено множе­ство книг и статей. В то же время существуют значительные разногласия не толь­ко относительно наилучших процедур факторизации и вращения факторов, но и в отношении их интерпретации. Тем не менее факторный анализ был и остается одним из наиболее мощных инструментов психолога, разрабатывающего тесты.