6. Численное интегрирование

Пусть требуется вычислить интеграл

. (6.1)

Если функция f(x) является непрерывной на отрезке [a, b], то интеграл (6.1) существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

. (6.2)

Однако для большинства функций f(x) первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f(x) часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в построении формул численного интегрирования или квадратурных формул.

Приближенное равенство

(6.3)

называется квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами A_i.

Величина

(6.4)

называется остаточным членом квадратурной формулы.

В зависимости от способа задания подынтегральной функции f(x) будем рассматривать два различных в смысле реализации случая численного интегрирования.

Задача 1. На отрезке [a, b] в узлах x_i заданы значения f_i некоторой функции f, принадлежащей определенному классу F. Требуется приближенно вычислить интеграл (6.1) и оценить погрешность полученного значения.

Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.

Задача 2. На отрезке [a, b] функция f(x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (6.1) с заданной предельно допустимой погрешностью .

Рассмотрим алгоритм решения задач 1 и 2.

Алгоритм решения задачи 1.

1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (6.3) и вычисляют J_N. Если значения функции f(x) заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение для точного J_N.

2. Приближенно принимают, что .

3. Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода

.

4. Определяют погрешность вычисления

по погрешностям приближенных значений f(x_i).

5. Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения :

.

6. Получают решение задачи в виде

.

Алгоритм решения задачи 2.

1. Представляют  в виде суммы трех неотрицательных слагаемых:

где ₁ – предельно допустимая погрешность метода: ₂ – предельно допустимая погрешность вычисления ; ₃ – предельно допустимая погрешность округления результата.

2. Выбирают N в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство

.

3. Вычисляют f(x_i) с такой точностью, чтобы при подсчете по формуле (6.3) обеспечить выполнение неравенства

.

Для этого, очевидно, достаточно вычислить все f(x_i) с абсолютной погрешностью

.

4. Найденную в п.3. величину округляют (если ) с предельно допустимой погрешностью до величины .

5. Получают решение задачи в виде

.

6.1. Формула прямоугольников

Допустим, что .

Отрезок [a, b] разделим на N равных частичных отрезков , где .

Тогда

. (6.5)

Обозначим среднюю точку отрезка через

. (6.6)

Запишем для функции f(x) на каждом их отрезков формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

(6.7)

Подставим в правую часть соотношения (6.5) вместо f(x) ее представление (6.7) и получим (6.8):

Используя для вычисления теорему о среднем значении интеграла и учитывая, что , получим

. (6.9)

В силу непрерывности (x) существует такая точка , что

. (6.10)

Используя (6.10), получаем

.

или, так как ,

. (6.11)

Приближенное равенство

(6.12)

называется квадратурной формулой прямоугольников, определяемой узлами и коэффициентами . Величина

(6.13)

является остаточным членом формулы прямоугольников.

Оценка остаточной погрешности формулы прямоугольников может быть записана в виде

, (6.14)

где

.

Выражения для остаточного члена (6.13) и остаточной погрешности (6.14) показывают, что формула прямоугольников (6.12) является точной для любой линейной функции, т.к. вторая производная такой функции равна нулю и, следовательно, .

Оценим вычислительную погрешность формулы прямоугольников, которая возникает за счет приближенного вычисления значений функции f(x) в узлах .

Пусть, например, значения в формуле (6.12) вычислены с одинаковой абсолютной погрешностью , тогда

. (6.15)