5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
Зададимся последовательностью совокупностей точек
удовлетворяющих
условию: все точки
– различны. В частности, можно положить
,
где
– малая величина. Построим по всем этим
точкам разделенную разность порядка
.
Определим
(5.3)
Рассмотрим сначала случай, когда под знаком разделенной разности левой части (5.3) повторяется только один узел xi и разделенная разность порядка ki-1 вычисляется только по этому повторяющемуся узлу. Согласно определению (5.3)
По формуле связи (4.13) между разделенной разностью и производной имеем
(5.4)
где
– точка, принадлежащая наименьшему
отрезку, содержащему все точки
.
Перейдя в равенстве (5.4) к пределу при
,
получим
(5.5)
Итак,
если при
производная
непрерывна, то существуют разделенные
разности
Но это обеспечивает также существование разделенной разности с кратными узлами левой части (5.3), т.к. все остальные разделенные разности, необходимые для ее вычисления, находятся путем последовательного применения рекуррентных формул
и их обобщений. Чтобы не проводить громоздкого вывода для общего случая формулы (5.3), рассмотрим иллюстративную таблицу. Приведенные в этой таблице вычисления переносятся на общий случай без всяких принципиальных затруднений.
Требуется
найти
,
если заданы
.
|
№ строк |
1 xi |
2 f(xi) |
3 f[xi, xj] |
4 Разности II порядка |
5 III пор. |
6 IV пор |
7 V пор |
8 VI пор |
|
0 |
x0 |
f(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x0 |
f(x0) |
|
f[x0; x0, x1] |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
f[x0, x1] |
|
f[x0, x0; x1, x1] |
|
|
|
|
4 |
x1 |
f(x1) |
|
f[x0; x1, x1] |
|
f[x0, x0; x1, x1;x2] |
|
|
|
5 |
|
|
f’(x1) |
|
f[x0, x1; x1; x2] |
|
f[x0, x0; x1; x1;x2,x2] |
|
|
6 |
x1 |
f(x1) |
|
f[x1, x1; x2] |
|
f[x0; x1, x1; x2;x2] |
|
f[x0, x0; x1; x1;x2,x2,x2] |
|
7 |
|
|
f[x1, x2] |
|
f[x1, x1; x2, x2] |
|
f[x0; x1, x1; x2,x2,x2] |
|
|
8 |
x2 |
f(x2) |
|
f[x1; x2, x2] |
|
f[x1, x1; x2, x2,x2] |
|
|
|
9 |
|
|
f’(x2) |
|
f[x1; x2; x2, x2] |
|
|
|
|
10 |
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
f’(x2) |
|
|
|
|
|
|
12 |
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
|
|
Левый столбец таблицы – для нумерации строк, верхняя строка – для нумерации столбцов. В первом столбце в строках с четным номером приведены аргументы искомой разделенной разности. Во втором столбце в тех строках, что и аргументы, помещены соответствующие значения функции. Третий столбец предназначен для разделенных разностей первого порядка. Они размещаются в строках с нечетными номерами между строк, в которых находятся соответствующие узлы (аргументы) и значения функции. Если узлы повторяются, как это имеет место для строк 1, 5, 9, 11, то сюда помещают значение первой производной. В строках 3, 7 помещены обычные разделенные разности первого порядка. Столбец 4 предназначен для разделенных разностей второго порядка. За исключением последней из них (строка 10), где
,
они находятся обычным способом по рекуррентной формуле. Так,
.
Аналогично и для остальных разностей. В пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах находятся, соответственно, разделенные разности третьего, четвертого, пятого и шестого порядков. Они вычисляются по обычным рекуррентным формулам. Например,
.