Министерство образования российской федерации

Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права

И.Н. Мастяева о.Н. Семенихина

Численные методы

Учебное пособие

Москва 2004

ББК 22.19

УДК 519.6

Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. –М., 2004. –103 стр.

В пособии излагаются численные методы алгебры, анализа и решения дифференциальных уравнений, наиболее часто применяемые при решении практических задач на ЭВМ.

Пособие предназначено для студентов MIFP всех специальностей.

Ил. 3, табл. 7, список лит. – 13 назв.

Рецензенты: к.э.н. И.Н. Орлова, к. физ.-мат. н. Э.И. Применко

1602110000

М, С ---------------- 36-93

Х07(03)

 Мастяева И.Н., 2004

 Семенихина О.Н., 2004

 Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2004

Содержание:

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 1

Учебное пособие 1

СОДЕРЖАНИЕ: 3

1. ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 5

1.1. Источники и классификация погрешностей. 5

1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел 5

1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел 6

1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков 8

1.5. Общая формула теории погрешностей (погрешность 12

вычисления значения функции) 12

1.6. Погрешность арифметических действий 14

1.7. Обратная задача теории погрешностей 17

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 19

2.1. Отделение корней 19

2.2. Метод половинного деления 20

2.3. Метод хорд (секущих) 20

2.4. Метод касательных (метод Ньютона) 22

2.5. Метод итераций 24

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 27

3.1. Метод Гаусса 27

З.2. Метод прогонки 30

3.3. Норма вектора и норма матрицы 34

3.4. Метод простой итерации 38

3.5. Частичная проблема собственных значений 40

4.ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ. 44

4.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член. 45

4.2. Интерполяционный полином Лагранжа. 47

4.3. Разделенные разности и их свойства. 49

4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями 52

4.5. Конечные разности и их свойства 53

Если у функции f(x) производные достаточно высоких порядков остаются ограниченными, то согласно (4.21) соответствующие конечные разности будут убывать с ростом k. Поэтому, естественно, наступит такой момент, когда погрешности конечных разностей станут сравнимы или даже больше абсолютных величин самих конечных разностей. Следовательно, информация, содержащаяся в таблице этих разностей, станет информацией о погрешностях, а не функции, и использование ее станет нецелесообразным. При этом говорят, что порядок последних конечных разностей, которые еще целесообразно использовать в вычислениях, есть порядок правильности таблицы конечных разностей. 55

4.6. Интерполяционные формулы Ньютона 55

4.7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями 57

4.8.Обратное интерполирование 63

4.9. Численное дифференцирование 66

5. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ И СПЛАЙНЫ 69

5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами 69

5.2. Интерполяционный полином Эрмита 72

5.3. Интерполирование сплайнами 74

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 80

6.1. Формула прямоугольников 81

6.2. Формула трапеций 83

6.3. Формула Симпсона 85

6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону 87

7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 91

7.1. Метод Рунге-Кутта 92

7.2. Разностный метод решения краевой задачи 98

Список литературы 102