- •Министерство образования российской федерации
- •Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права
- •И.Н. Мастяева о.Н. Семенихина
- •Численные методы
- •Учебное пособие
- •Москва 2004
- •Содержание:
- •1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей.
- •1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел
- •1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел
- •1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков
- •5423,47 6 Значащих цифр,
- •0,0000605 3 Значащие цифры,
- •0,060500 5 Значащих цифр.
- •1.5. Общая формула теории погрешностей (погрешность вычисления значения функции)
- •1.6. Погрешность арифметических действий
- •1.7. Обратная задача теории погрешностей
- •2. Численные методы решения нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней
- •2.2. Метод половинного деления
- •2.3. Метод хорд (секущих)
- •2.4. Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.5. Метод итераций
- •3. Численные методы линейной алгебры
- •3.1. Метод Гаусса
- •З.2. Метод прогонки
- •3.3. Норма вектора и норма матрицы
- •3.4. Метод простой итерации
- •3.5. Частичная проблема собственных значений
- •Интерполирование.
- •4.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Разделенные разности и их свойства.
- •4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями
- •4.5. Конечные разности и их свойства
- •4.6. Интерполяционные формулы Ньютона
- •4.7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями
- •4.8.Обратное интерполирование
- •4.9. Численное дифференцирование
- •5. Интерполирование с кратными узлами и сплайны
- •5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
- •5.2. Интерполяционный полином Эрмита
- •5.3. Интерполирование сплайнами
- •6. Численное интегрирование
- •6.1. Формула прямоугольников
- •6.2. Формула трапеций
- •6.3. Формула Симпсона
- •6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону
- •7. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •7.1. Метод Рунге-Кутта
- •7.2. Разностный метод решения краевой задачи
- •Список литературы
5.2. Интерполяционный полином Эрмита
Перейдем теперь к задаче построения полинома Эрмита. Для этого, как и при определении разделенных разностей с кратными узлами, наряду с данными точками выберем на отрезке [a,b] точки . Все эти узлы различны. Построим по совокупности точек интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями
Перейдем в обеих частях этого равенства к пределу при . Получим
(5.6)
Покажем, что полученный таким образом полином решает поставленную задачу, т.е. удовлетворяет условиям (5.2). Первые k0 членов правой части (5.6) являются первыми k0 членами разложения функции f(x) в ряд Тейлора. Остальные же члены содержат множитель . Поэтому выполняются условия (5.2), относящиеся к узлу x0. Но мы могли бы записать , взяв за начальный узел не x0, а любую из точек . При этом ни сам многочлен, ни его предел не изменятся, изменится только форма записи этих многочленов. Таким образом, условия (5.2) будут выполнены и для остальных узлов.
Остаточный член полинома Эрмита получится из остаточного члена полинома переходом к пределу при :
и остаточная погрешность определится как
Интерполяционный полином Эрмита можно получить другим способом. Наряду с рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа , принимающий в точках значения . Разность должна быть многочленом степени не выше m, обращающимся в нуль в точках . Следовательно,
Где , а – многочлен степени (m-n-1). При любом функция
принимает в узлах интерполирования xi значения f(xi). Подберем теперь так, чтобы были выполнены и остальные условия (5.2). Дифференцируя последнее равенство, получим
.
Полагая здесь x = xi, будем иметь
.
Так как , в каждой точке, в которой задана величина , мы найдем .
Дифференцируя еще раз, получим
Полагая снова x = xi, найдем
Из этого равенства мы сумеем найти в тех точках, в которых заданы . Продолжим этот процесс далее. Каждый раз коэффициентом при старшей производной от в точках xi будет . Таким образом, мы сведем нашу задачу отыскания к задаче отыскания , удовлетворяющего условиям:
где , - известные числа. Для построения применим точно такой же прием. Получим некоторые условия, наложенные на , где . В конце концов, нам потребуется построить интерполяционный полином Лагранжа по его значениям в некоторых из точек xi.
На практике полином Эрмита часто записывают в различных формах, которые определяются количеством заданных узлов и их кратностью. Например, полином Эрмита третьей степени, построенный по точкам , в которых заданы еще значения первой производной функции, можно записать в виде
, (5.7)
где – полиномы третьей степени, удовлетворяющие условиям:
(5.8)
Очевидно, что , определяемый формулой (5.7), удовлетворяет (5.2):
Иногда интерполяционный многочлен Эрмита строится методом неопределенных коэффициентов, т.е. рассматривается многочлен
и коэффициенты определяются из условий (5.2).
Вычислительная погрешность интерполяционного полинома Эрмита в точке x для каждой из его форм определяется так же, как и для интерполяционных полиномов Лагранжа, Ньютона и т.д. Например, для (5.7) вычислительная погрешность
Где – абсолютные погрешности величин соответственно.