- •Пояснительная записка
- •2.1 Непосредственный способ интегрирования
- •2.2 Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •2.3 Метод интегрирования по частям
- •Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл, п.78-81;
- •Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Понятие неопределенного интеграла
- •1.2 Свойства неопределённого интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •2.1 Метод непосредственного интегрирования
- •2.1.10 Интегрирование алгебраических функций
- •2.1.20 Интегрирование тригонометрических функций
- •2.1.30 Интегрирование дробно- рациональных функций с помощью дополнительных преобразований
- •2.2 Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •2.2.30 Интегралы вида: ,
- •2.2.50 Интегралы вида:
- •2.2.60 Интегрирование простейших иррациональных функций
- •2.2.70 Интегрирование с помощью преобразования подынтегральной функции
- •88 Обозначьте , тогда
- •91 Помножьте числитель и знаменатель пф на 2 и воспользуйтесь формулой
- •2.3 Метод интегрирования по частям
- •2.3.4 Циклические интегралы
2.2.30 Интегралы вида: ,
Интегралы данного вида находятся путем выделения полного квадрата из данного
квадратного трехчлена по формуле:
(**) и применения правил 1,2.
Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 9 или 10.
Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 8 или
11.
2.2.14 |выделите в знаменатели ПФ полный квадрат по формуле (**)| =
2.2.16 =
(сомножитель (-1) внесем в квадратные скобки, получим ) =
Выполните самостоятельно
33 |
34 |
35 |
36 |
2.2.40 Интегрирование дробных функций (рациональных или иррациональных), когда в знаменатели или под корнем в знаменатели стоит функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю).
Интегралы этого вида находятся путем замены многочлена стоящего в знаменателе ПФ новой переменной
2.2.17
Замечаем, что производная знаменателя ПФ , отличается от числителя только постоянным множителем. Выполним интегрирование, за новую переменную примем
2.2.18
Легко заметить, что если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл всегда равен натуральному логарифму знаменателя.
2.2.19
2.2.20
Правило 3
Если под знаком интеграла стоит дробная функция (рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t. где или где , то |
Выполните самостоятельно
-
37
38
39
40
41
42
43
44
2.2.50 Интегралы вида:
Рассмотрим интегралы, в которых ПФ представлена как произведение сложной функции и производной ее промежуточного аргумента. В этом случае промежуточный аргумент принимается за новую переменную t .
Например
Функция сложная, ее промежуточный аргумент равен , производная которого содержится в ПФ, поэтому интеграл сводится к табличному подстановкой . Действительно
=
Рассмотрите интегралы данного вида
2.2.23 =
2.2.25
2.2.26
2.2.27
2.2.28
2.2.29
Выполните самостоятельно
-
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Правило 4
-
Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента , то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t.
,
Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).
2.2.30
2.2.31
2.2.32
2.2.33
Выполните самостоятельно
61 |
62 |
63 |
64 |
||||
65 |
66 |
67 |
68 |
||||
69 |
70 |
71 |
72 |
Указания:
66 Представьте , обозначьте
68 Представьте , обозначьте
70 Обозначьте и распишите