- •Пояснительная записка
- •2.1 Непосредственный способ интегрирования
- •2.2 Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •2.3 Метод интегрирования по частям
- •Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл, п.78-81;
- •Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Понятие неопределенного интеграла
- •1.2 Свойства неопределённого интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •2.1 Метод непосредственного интегрирования
- •2.1.10 Интегрирование алгебраических функций
- •2.1.20 Интегрирование тригонометрических функций
- •2.1.30 Интегрирование дробно- рациональных функций с помощью дополнительных преобразований
- •2.2 Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •2.2.30 Интегралы вида: ,
- •2.2.50 Интегралы вида:
- •2.2.60 Интегрирование простейших иррациональных функций
- •2.2.70 Интегрирование с помощью преобразования подынтегральной функции
- •88 Обозначьте , тогда
- •91 Помножьте числитель и знаменатель пф на 2 и воспользуйтесь формулой
- •2.3 Метод интегрирования по частям
- •2.3.4 Циклические интегралы
-
Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл, п.78-81;
- Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил.
Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.
1 Неопределенный интеграл
1.1 Понятие неопределенного интеграла
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции.
Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, физике, химии приводят к решению обратной задачи: по заданной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. найти функцию , зная её производную .
Обратную задачу решает интегральное исчисление.
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение Функция называется первообразной функции в данном интервале, если во всех точках этого интервала её производная равна заданной функции, т.е. .
Из определения вытекают три вопроса.
1 Любая ли функция имеет первообразную?
2 Если существует, то сколько первообразных может иметь заданная функция?
3 Как найти эти первообразные?
Ответы на эти вопросы дают теоремы.
Теорема 1 (без доказательства)
Если функция непрерывная в данном интервале, то она имеет первообразную.
Теорема 2
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных
Пусть - первообразная функции , тогда и функция так же является её первообразной. Действительно :
Например, первообразной функции является функция, т.к.
Очевидно, что первообразными будут также любые функции где С – постоянная, поскольку
Теорема 3 (без доказательства)
Любые две первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение Неопределенным интегралом для заданной функции называется совокупность всех её первообразных и обозначается .
Таким образом, по определению
(*)
В равенстве (*):
- подынтегральная функция (ПФ);
- подынтегральное выражение (ПВ);
- первообразная функции;
- совокупность первообразных;
- дифференциал независимой переменной, указывает по какой переменно функция интегрируется.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Интегрирование действие обратное дифференцированию и его можно проверить дифференцированием.
1.2 Свойства неопределённого интеграла
1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:
1. 3 Таблица основных интегралов
-
1
8
2
8.1
2.1
8.2
2.2
9
3
9.1
3.1
9.2
3.2
10
3.3
4
4.1
10.1
4.2
10.2
5
11
5.1
11.1
5.2
11.2
6
12
6.1
12.1
6.2
12.2
7
13
7.1
13.1
7.2
13.2
14
15