ВВЕДЕНИЕ
Основная задача исследования кинетики биологических и химических процессов в большинстве случаев сводится к построению математической модели, адекватно отражающей происходящие в исследуемой системе процессы, и определению ее параметров (константы скоростей реакций, порядки реакций и т.д.). В дальнейшем по полученной математической модели исследуется поведение системы и ее особенности. Таким образом, задача исследования кинетики биологических и биохимических процессов есть задача "аппроксимации" физического явления математической моделью с последующим анализом модели для определения параметров физических процессов в системе и прогнозирования поведения системы при вариации внешних условий.
В ряде случаев, когда экспериментальная зависимость достаточно проста, модель явления может быть задана в виде аналитической функции (системы функций) и ее параметры могут быть рассчитаны непосредственно из экспериментальных данных. Однако, в общем случае данный подход неприемлем вследствие сложности протекающих в системе процессов. Тогда поведение системы задается математической моделью, которая, как правило, представляет собой систему дифференциальных уравнений, описывающих изменения некоторых ключевых факторов во времени (концентрации реагентов, процент погибших клеток и т.д.). Такие системы уравнений решаются численными методами с использованием определенных начальных условий. Модель при этом должна содержать ряд параметров - физических величин, определяющих поведение системы (константы скоростей реакций и т.д.). Подбором значений параметров достигается наилучшее описание моделью экспериментальных данных. При правильном построении модели значения ее параметров будут соответствовать значениям соответствующих физических величин в исследуемой системе.
Раздел 1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1. Аппроксимация
Основная задача аппроксимации – построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все точки) или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.
Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой – критерием аппроксимации (близости). Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от "экспериментальных" (т.е. заданных), – критерий близости в заданных точках:
,
(1.1)
где
– заданные табличные значения функции;
– расчетные значения по аппроксимирующей
функции;
– весовые коэффициенты, учитывающие
относительную важность i-й
точки.
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
Другим распространенным критерием близости является следующий:
.
(1.2)
Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими и вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.
В обоих рассмотренных
случаях в качестве значения функции
можно брать не только абсолютные, но и
относительные значения, например,
и др.
Выделяют две основные задачи:
1) получение аппроксимирующей функции, описывающей имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;
2) получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наилучшей возможной погрешностью.
Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.
Основные методы аппроксимации – это метод наименьших квадратов, в котором в качестве критерия близости используется сумма квадратов разностей между экспериментальными и теоретическими значениями (1.1), и метод равномерного приближения, в котором в качестве критерия близости используется модуль максимального отклонения расчетных и заданных значений.
1.2. Интерполяция и экстраполяция
Основная задача интерполяции – нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Экстраполяция – несколько более "широкое" понятие, оно сводится к восстановлению функции в точках за пределами заданного интервала. В обоих случаях исходные табличные данные могут быть получены как экспериментально (в этом случае принципиально отсутствуют промежуточные данные без дополнительных работ), так и расчетным путем по сложным зависимостям (в этом случае найти с помощью интерполяции значение сложной функции бывает проще, чем непосредственным вычислением по сложной формуле).
В процессе исследования кинетики процессов по экспериментальным данным интерполяция может производиться как с использованием функций, проходящих через заданные экспериментальные точки (интерполяционные полиномы и др.), так и с использованием аппроксимирующих функций. Ввиду того, что экспериментальные значения определяются с некоторой погрешностью, использование интерполяционных полиномов и др. функций, строго проходящих через все экспериментальные точки, является некорректным, поэтому в общем случае для интерполяции и экстраполяции экспериментальных зависимостей используются аппроксимирующие функции, параметры которых подбираются численными методами для удовлетворения заданного критерия близости. После этого вычисление искомых значений производится по аппроксимирующим функциям, что позволяет снизить влияние погрешности измерений на получаемые значения.
1.3. Кинетическая модель процессов внутримолекулярной деградации глюкуронидов в растворе
Рисунок 1.1 –Упрощенная схема внутримолекулярной деградации
Система дифференциальных уравнений, описывающих функционирование кинетической модели процессов внутримолекулярной деградации молекул глюкуронидов в растворе, имеет следующий вид
Рисунок 1.2 – Принципиальная схема внутримолекулярной деградации глюкуронидов в растворе
РАЗДЕЛ 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1. Обработка экспериментальных данных
Первоначально в программе Excel были произведены расчеты, необходимые для последующих процедур: суммирование значений концентраций по строкам, нахождение относительных концентраций. Эти данные были помещены в новую таблицу (Таблица 2). Был построен график зависимости относительной концентрации глюкуронидов от времени, найдена линия тренда для одного из веществ (β-1-0-ацилглюкуронида).Он представлен на рисунке 2.
Таблица 2.1 – Зависимость относительных концентраций от времени
|
Время (ч) |
B-1-O-acyl |
2-O-acyl |
3-O-acyl |
4-O-acyl |
Агликон |
|
0.66 |
0.634712 |
0.2781 |
0.032818 |
0 |
0.05437 |
|
1.29 |
0.487248 |
0.372279 |
0.068438 |
0.00631 |
0.065725 |
|
1.93 |
0.381193 |
0.420543 |
0.105852 |
0.012259 |
0.080153 |
|
2.87 |
0.26634 |
0.46113 |
0.157803 |
0.017333 |
0.097395 |
|
3.5 |
0.205795 |
0.46635 |
0.186256 |
0.034175 |
0.107423 |
|
4.12 |
0.164185 |
0.462647 |
0.212066 |
0.044683 |
0.116419 |
|
4.81 |
0.124459 |
0.460156 |
0.233991 |
0.056934 |
0.124459 |
|
5.51 |
0.092135 |
0.444381 |
0.255029 |
0.07157 |
0.136886 |