1. Означення матриці. Основні поняття.

Матрицею називається упорядкована таблиця чисел:

- матриця розміром mxn,

а_ij – елементи матриці, де i -номер рядка матрицi (i =1,…,m), j - номер стовпця матрицi (j=1,…,n), на перетинi яких знаходиться відповідний елемент.

Види матриць

1) Якщо кiлькiсть рядкiв матрицi m не дорiвнює кiлькостi її стовпцiв n, то матриця називається прямокутною.

2) Матриця, в якій кількість n рядків дорівнює кількості стовпців, називається квадратною n-го порядку.

3) Нульовою матрицею називається матриця, в якій всі елементи дорівнюють нулю.

4) Матрицю, що має тiльки один рядок (стовпець), називають вектором-рядком (вектором-стовпцем).

5) Дiагональна матриця має вигляд:

.

6) Одинична матриця n-го порядку:

7) Якщо в матрицi А помiняти мiсцями вiдповiднi рядки i стовпцi, то одержимо матрицю А^T, яка називається транспонованою матрицею по вiдношенню до матрицi А.

Дiї над матрицями

1) Сумою двох матриць А і В рівних розмірів (mхn) називається матриця С того ж розміру, елементи якої с_ij дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В.

2) Добутком матриці на число називається матриця, елементи якої одержані з даної множенням усіх її елементів на це число.

3) Добутком матриць А і В називається матриця С, елемент якої дорівнює сумі попарних добутків елементів i-того рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

2. Означення визначників 2-го і 3-го порядків. Їх обчислення.

Визначником 2-го порядку, складеним для квадратної матриці А=, називається число

.

Визначником 3-го порядку, складеним для квадратної матриці А=, називається число =

(правило трикутника).

Схематичне зображення правила трикутника:

3. Властивості визначників.

Основні властивості визначників

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.

2. При переставленні місцями будь-яких двох рядків визначник змінює знак на протилежний.

3. Якщо відповідні елементи двох рядків визначника рівні або пропорціональні, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Загальний множник всіх елементів рядка можна винести за знак визначника.

6. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників, в одному з яких у тому ж рядку стоять перші доданки, а у другому – другі. Інші рядки у обох визначників однакові та співпадають з відповідними рядками даного визначника.

7. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те ж саме число.

Мінор M_ij елемента а_ij визначника – це визначник, який одержано з даного викресленням і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент.

Алгебраїчне доповнення А_ij елемента а_ij – це мінор М_ij цього елемента, взятий з відповідним знаком за схемою .