3.7. Алгоритм или алгоритмы?

Прежде всего, необходимо рассмотреть следующий весьма важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды математического понимания, свойственные разным людям, отвечает множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алгоритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с самого начала уверены, так это в том, что даже профессиональные математики часто воспринимают математические "реалии" совершенно по-разному. Для одних в высшей степени важны зрительные образы, тогда как другим удобнее иметь дело с четкими логическими структурами, изящными абстрактными доказательствами, подробными аналитическими обоснованиями или, возможно, чисто алгебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить,

3.7. Алгоритм или алгоритмы? 237

что, по некоторым предположениям, геометрическое, например, и аналитическое мышление осуществляются разными полушариями мозга (соответственно, правым и левым) . Однако часто бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и та же математическая истина. С алгоритмической точки зрения первое впечатление таково: алгоритмы, отвечающие за математическое мышление различных людей, должны быть как минимум абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существенное различие между образами, которые формируют в сознании отдельные математики (или прочие смертные) для собственного понимания или для сообщения другим математических идей, математическое восприятие обладает одним поразительным свойством: когда математики наконец решают для себя, что именно следует считать неопровержимо истинным, никаких разногласий по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для такого разногласия послужит какая-либо действительная, опознаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассуждениях того или иного математика (еще один возможный повод для разногласий предоставляет принципиальное расхождение во мнениях по некоторым - весьма немногочисленным - фундаментальным вопросам; см. комментарий к Q11, в особенности утверждение ). В целях упрощения изложения я позволю себе в дальнейшем последнее соображение проигнорировать. Хотя это соображение и имеет некоторое отношение к предмету нашего разговора, на выводы оно заметного влияния не оказывает. (Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалентных точек зрения на какой-то вопрос или все соглашаемся на одной - существенного различия между этими двумя ситуациями в данном случае нет.)

Восприятие математической истины может осуществляться самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться в том, что вне зависимости от конкретной природы физических процессов, обусловливающих осознание человеком истинности какого-либо математического утверждения, эти процессы должны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму, даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе говоря, если математики при составлении суждений о неопровержимой истинности того или иного утверждения просто-напросто применяют какие-то вычислительные алгоритмы, то у разных математиков эти самые алгоритмы должны весьма значительно

238 Глава 3

различаться по своей структуре. При этом упомянутые алгоритмы должны быть еще и эквивалентны друг другу в некотором очевидном смысле.

Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может показаться на первый взгляд - по крайней мере, с точки зрения математически возможного. Весьма разные на вид машины Тьюринга могут давать на выходе идентичные результаты. (Рассмотрим, например, машину Тьюринга, построенную следующим образом: при выполнении действия над натуральным числом п мы получаем в результате 0 всякий раз, когда п выразимо в виде суммы четырех квадратов, и 1, когда п таким образом выразить нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпадает с результатом другой машины, построенной таким образом, чтобы давать на выходе 0 при подаче на вход любого натурального числа п - ибо известно, что в виде суммы четырех квадратов можно представить любое натуральное число; см. §2.3.) Из идентичности внешних конечных результатов двух алгоритмов вовсе не обязательно следует, что эти алгоритмы окажутся подобными по внутренней структуре. Однако, в определенном смысле, рассматриваемое допущение еще более запутывает вопрос о происхождении нашего гипотетического непостижимого алгоритма(-ов) для установления математической истины, поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими такими алгоритмами, достаточно отличными друг от друга по внутренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в отношении получаемого на выходе результата.

3.8. Эзотерические математики не от мира сего как результат естественного отбора

Какую же роль играет во всем этом естественный отбор? Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алгоритм F (или несколько таких алгоритмов), обусловливающий наше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по себе (если верить допущению III), либо лишь в отношении выполняемых им функций (в соответствии с допущением II)? Начнем с повторения того, о чем мы уже говорили в начале § 3.1. В процессе получения своих предположительно неопровержимо истинных математических выводов математики вовсе не считают, что они

3.8. Математики как результат естественного отбора 239

просто следуют некоему набору непознаваемых правил - правил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они непостижимы в принципе. Напротив, они полагают, что эти выводы представляют собой результат неких обоснованных рассуждений (пусть зачастую длинных и внешне запутанных), которые в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины, понятные, в принципе, любому.

Более того, рассматривая ситуацию с позиций здравого смысла или на уровне логических дескрипций, мы можем со всей определенностью утверждать, что математики и в самом деле делают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит никакому сомнению, а важность его переоценить невозможно. Если мы полагаем, что математики в своей деятельности следуют некоему набору непознаваемых и непостижимых вычислительных правил (в соответствии с возможными вариантами III или II), то, значит, они делают еще и это - одновременно с тем, что, как им кажется, они делают, но на другом уровне дескрипции. Каким-то образом алгоритмическое следование правилам должно давать тот же самый результат, что дают математическое понимание и интуиция - по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо вознамерились стать приверженцами либо , либо , то нам предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность является вполне правдоподобной.

Нужно помнить и о том, какие блага дают эти алгоритмы. Предполагается, что они наделяют своего "носителя" - по крайней мере, в принципе - способностью составлять корректные математические суждения об абстрактных сущностях, весьма далеких от непосредственного жизненного опыта, что, по большей части, не дает этому самому носителю сколько-нибудь заметных практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось заглянуть в какой-нибудь современный чисто математический научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости теоретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит, в конечном счете, из каких-то элементарных шагов, и каждый такой шаг может, в принципе, понять любой мыслящий индивидуум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и

240 Глава 3

о том, что алгоритм - или, возможно, целый ряд альтернативных, но математически эквивалентных алгоритмов, - который дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые рассуждения, каким-то образом был изначально записан не где-нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНК. Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься, как же так получилось, что подобный алгоритм (или алгоритмы) развился в результате естественного отбора. Очевидно, что даже в настоящее время профессия математика не дает никаких преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подозреваю, что ее можно даже считать неблагоприятным фактором. Вследствие своего взрывного темперамента и странноватых пристрастий пуристы со склонностью к математике имеют тенденцию заканчивать свой жизненный путь на какой-нибудь низкооплачиваемой академической службе - или и вовсе безработными.) Гораздо правдоподобнее выглядит иная картина: способность рассуждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных множествах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т. д. никаких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим далеким предкам дать просто не могла. Этих самых предков заботили практические повседневные проблемы - такие, как постройка убежищ, изготовление одежды, изобретение ловушки для мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и выращивание урожая (см. рис. 3.1).

Разумно предположить, что упомянутые преимущества, которыми, очевидно, все же обладали наши предки, происходили из качеств, необходимых для решения как раз таких, практических проблем, а уже потом, гораздо позднее, выяснилось, что эти же качества замечательно подходят и для решения проблем математических - этакий побочный результат. Во всяком случае, такой ход событий полагаю более или менее правдоподобным я сам. Развивая это предположение, можно допустить, что под давлением естественного отбора человек каким-то образом приобрел или развил в себе некую общую способность понимать. Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была связана с какими-то конкретными областями его деятельности и оказывалась полезной буквально во всем. То же сооружение жилищ или ловушек для мамонтов существенно усложнилось бы, не обладай человек способностью понимать вещи и явления в их общности. При этом лично я полагаю, что Homo sapiens был

3.8. Математики как результат естественного отбора 241

Рис. 3.1. Вряд ли специфическая способность составлять сложные математические суждения могла дать нашим далеким предкам какие бы то ни было преимущества в борьбе за существование, а вот общая способность к пониманию им наверняка не помешала бы.

отнюдь не уникален в своей способности понимать. Такой же способностью обладали, возможно, и многие другие животные, составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за существование, однако обладали в меньшей степени, в результате чего человек, в силу более интенсивного развития этой способности, получил над ними весьма существенное преимущество.

Сложности с такой точкой зрения возникают как раз тогда, когда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к пониманию как нечто по своей природе алгоритмическое. Как нам уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств, любая (алгоритмическая) способность к пониманию, достаточно сильная для того, чтобы ее обладатель оказался в состоянии разобраться в тонкостях математических обоснований, в частности, гёделевского доказательства в представленном мною варианте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысловатой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший через испытания естественного отбора гипотетический алгоритм, по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена на-

242 Глава 3

ших далеких предков он уже включал в область своей потенциальной применимости правила всех формальных систем, рассматриваемых сегодня математиками как безоговорочно непротиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет о -высказываниях, см. §2.10, комментарий к Q10). Сюда почти наверняка входят и правила формальной системы Цермело- Френкеля ZF, или, возможно, ее расширенного варианта, системы ZFC (иначе говоря, самой ZF с добавлением аксиомы выбора) - системы (см. §§3.3 и 2.10, комментарий к Q10), которую многие математики сегодня рассматривают как источник абсолютно всех необходимых для обычной математики методов построения рассуждений, - а также все частные формальные системы, получаемые из системы ZF посредством применения к ней процедуры гёделизации сколько угодно раз, и кроме того, все другие формальные системы, которые могут быть получены математиками посредством тех или иных озарений и рассуждений - скажем, на основании открытия, суть которого состоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой гёделизации, всегда являются неопровержимо обоснованными, или исходя из иных рассуждений еще более основополагающего характера. Такой алгоритм должен был также включать в себя (в виде собственных частных экземпляров) потенциальные способности к установлению тонких различий, отделению справедливых аргументов от ничем не обоснованных во всех тех, тогда еще не открытых, областях математики, которые сегодня оккупируют страницы специальных научных журналов. Все вышеперечисленные способности должны были оказаться каким-то образом закодированы внутри этого самого - гипотетического, непознаваемого или, если угодно, непостижимого - алгоритма, и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно в результате естественного отбора, в ответ на какие-то внешние условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороться за выживание. Конкретная способность к отвлеченным математическим рассуждениям не могла дать своему обладателю никаких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей определенностью утверждаю, что для возникновения подобного алгоритма не существовало и не могло существовать никаких естественных причин.

Однако стоит нам допустить, что "способность понимать" имеет неалгоритмическую природу, как ситуация в корне меняет-