5. . Квантовая теория спина. Сфера Римана

423

Попробуем представить все вышесказанное в более явном и геометрически наглядном виде. Такое представление поможет нам увидеть, что комплексные весовые коэффициенты и z вовсе не являются такими уж абстрактными конструкциями, какими они могли показаться на первый взгляд. Более того, к геометрии пространства они имеют самое непосредственное отношение. (Мне думается, такие геометрические воплощения понравились бы Кардано и, возможно, облегчили бы его "мучения разума" - впрочем, и квантовая теория вполне исправно снабжает наши разумы все новыми мучениями!)

Для начала будет весьма полезно ознакомиться со ставшим уже стандартным представлением комплексных чисел в виде точек на плоскости. (У этой плоскости много названий: плоскость Арганда, плоскость Гаусса, плоскость Весселя или просто комплексная плоскость.) Идея состоит в том, чтобы поставить в соответствие комплексному числу (где х и у - веще-

Рис. 5.16. Представление комплексного числа в виде точки на комплексной плоскости (плоскости Арганда - Гаусса-Весселя).

ственные числа) точку, координаты которой в некоторой заданной прямоугольной системе координат равны (х, у) (см. рис. 5.16). Таким образом, например, четыре комплексных числа 1, 1 + г, г и 0 образуют на комплексной плоскости квадрат. Существуют простые геометрические правила для отыскания суммы и произведения двух комплексных чисел (см. рис. 5.17). Отрицательное комплексное число -z находится отражением точки, соответствующей числу , относительно начала координат; комплексное сопряженное z - отражением точки z относительно оси х.

424

Смена знака:

отражение

относительно

начала координат

424 Глава 5

Рис. 5.17. Геометрические описания основных операций над комплексными числами.

Модуль комплексного числа равен расстоянию от соответствующей этому числу точки до начала координат; квадрат модуля, таким образом, равен квадрату этого расстояния. Точки, расстояние от которых до начала координат равно единице, образуют единичную окружность (см. рис. 5.18). Этим точкам соответствуют комплексные числа с единичным модулем, называемые иногда чистыми фазами; эти числа можно записать в виде

)

здесь в - вещественное число, равное величине угла между прямой, соединяющей начало координат с соответствующей этому числу точкой, и осью

Теперь выясним, как в таком представлении выглядят отношения комплексных чисел. Выше я уже указывал на то, что при умножении вектора состояния на ненулевое комплексное число состояние не претерпевает физических изменений (например, если помните, состояния мы полагали физи-

Вещественное число е называется "основанием натурального логарифма": е = 2,7182818285 .... Запись ez означает "число е в степени г"; для вычисления значения такого выражения используют следующее разложение:

5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана

425

Рис. 5.18. Единичную окружность образуют точки, соответствующие комплексным числам z = е , где в - вещественное число;

чески одинаковыми). Таким образом, в общем случае, состояние физически идентично состоянию при любом ненулевом комплексном и. Применительно к состоянию

>

умножение го и г на одно и то же ненулевое комплексное число и не приведет к какому-либо изменению физического феномена, соответствующего этому состоянию. Физически различными спиновые состояния могут быть только в том случае, если их векторы состояний характеризуются различными отношениями (а при отношения равны).

Как же изобразить комплексное отношение геометрически? Существенное отличие комплексного отношения от просто комплексного числа заключается в том, что в качестве значения комплексного отношения допускается не только конечное комплексное число, но и бесконечность (обозначается символом ). Так, если рассматривать, в общем случае, отношение z : w как эквивалент "одиночного" комплексного числа , то при w = 0 мы сталкиваемся с некоторыми, мягко говоря, затруднениями. Для того чтобы этих затруднений избежать, математики условились в случае w = 0 полагать число z/w равным бесконечности. Такая

426 Глава 5

ситуация возникает, например, в состоянии "спин вниз": - = . Вспомним, что нулю не могут быть

равны оба коэффициента (т. е. одновременно), поэтому

случай w = О вполне допустим. (Мы могли бы вместо взять отношение , если оно по каким-либо причинам понравилось бы нам больше; тогда символ понадобился бы нам для случая 2 = 0, что соответствует состоянию "спин вверх". Никакой разницы между этими двумя описаниями нет.)

Пространство всех возможных комплексных отношений мы можем представить с помощью так называемой сферы Римана. Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным числам, либо оо. Сферу Римана можно изобразить в виде единичной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с комплексной плоскостью, а центр располагается в точке начала координат (т. е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см. рис. 5.19). Для представления какого-либо комплексного отношения, скажем, z : w, мы отмечаем на комплексной плоскости точку Р, соответствующую комплексному числу р = z/w (допустим пока, что , а затем проецируем эту точку Р в точку Р' на сфере, при этом в качестве центра проекции выбираем южный полюс S сферы. Иначе говоря, мы проводим через точки S и Р прямую; там, где эта прямая пересекает сферу (кроме самой точки S), отмечаем точку Р'. Такое точечное отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией. Сам южный полюс S при таком отображении соответствует комплексному отношению оо. В самом деле, представим себе, что точка Р комплексной плоскости удалена на очень большое расстояние от центра координат; соответствующая ей точка Р' на сфере окажется при этом очень близко от полюса S - в пределе, когда модуль комплексного числа р устремляется к бесконечности, точки Р' и S совпадают.

Сфера Римана играет фундаментальную роль в квантовом описании систем с двумя состояниями. Эта роль не всегда очевидна, однако это не делает ее менее важной, и сфера Римана, пусть и незримо, где-то на сцене все равно присутствует. Она описывает - в абстрактном геометрическом виде - пространство всех физически достижимых состояний, которые можно получить из двух различных квантовых состояний посредством квантовой линейной суперпозиции. В качестве исходных