1.7. Хаос

В последние годы ученые проявляют огромный интерес к математическому феномену, известному под названием "хаос", - феномену, в рамках которого физические системы оказываются способными на якобы аномальное и непредсказуемое поведение (рис. 1.1). Образует ли феномен хаоса необходимую невычислимую физическую основу для такой точки зрения, как

4Время от времени математики натыкаются на процедуру, которая "очевидно" алгоритмична по своей природе, пусть даже порой не всегда бывает ясно, как эту процедуру можно сформулировать в виде операций машины Тьюринга или лямбда-исчисления. В таких случаях можно утверждать, что, "согласно тезису Черча", такая операция и в самом деле должна существовать. См., например, [67]. В этом пути нет ничего зазорного, и, уж конечно, не возникает никакого противоречия с . Более того, на таком толковании тезиса Черча основывается большая часть рассуждений главы 3.

1.7. Хаос 49

Рис. 1.1. Аттрактор Лоренца - один из первых примеров хаотической системы. Следуя линиям, мы переходим от левого лепестка аттрактора к правому и обратно произвольным, на первый взгляд, образом; то, в каком именно лепестке мы оказываемся в тот или иной момент времени, существенно зависит от нашей исходной точки. При этом кривая описывается простым математическим (дифференциальным) уравнением.

Хаотические системы - это динамически развивающиеся физические системы, математические модели таких физических систем или же просто математические модели, не описывающие никакой реальной физической системы и интересные сами по себе; характерно то, что будущее поведение такой системы чрезвычайно сильно зависит от ее начального состояния, причем определяющими могут оказаться самые незначительные факторы. Хотя обыкновенные хаотические системы являются полностью детерминированными и вычислительными, на деле может показаться, что в их поведении ничего детерминированного нет и никогда не было. Это происходит потому, что для сколько-нибудь надежного детерминистического предсказания будущего поведения системы необходимо знать ее начальное состояние с такой точностью, которая может оказаться просто недостижимой не только для тех измерительных средств, которыми мы располагаем, но также и для тех, которые мы только можем вообразить.

50 Глава I

В этой связи чаще всего вспоминают о подробных долгосрочных прогнозах погоды. Законы, управляющие движением молекул воздуха, а также другими физическими величинами, которые могут оказаться релевантными для определения будущей погоды, хорошо известны. Однако реальные синоптические ситуации, которые могут возникнуть всего через несколько дней после предсказания, настолько тонко зависят от начальных условий, что нет никакой возможности измерить эти условия достаточно точно для того, чтобы дать хоть сколько-нибудь надежный прогноз. Безусловно, количество параметров, которые необходимо ввести в подобное вычисление, огромно; поэтому, быть может, и нет ничего удивительного в том, что в данном случае предсказание может оказаться на практике просто невозможным.

С другой стороны, подобное - так называемое хаотическое - поведение может иметь место и в случае очень простых систем; примером тому служат системы, состоящие из малого количества частиц. Вообразите, что от вас требуется загнать в лузу бильярдный шар Е, расположенный пятым в некоторой извилистой5 и очень растянутой цепочке шаров А, В, С, D и Е; вам нужно ударить кием по шару А так, чтобы тот ударил шар В, который, в свою очередь, ударил бы шар С, который ударил бы шар D, который ударил бы шар Е, который, наконец, попал бы в лузу. В общем случае необходимая для этого точность значительно превышает способности любого профессионального игрока в бильярд. Если бы цепочка состояла из 20 шаров, то тогда - даже допустив, что эти шары представляют собой идеально упругие точные сферы, - задача загнать в лузу последний шар оказалась бы не под силу и самому точному механизму из всех доступных современной технологии. Поведение последних шаров цепочки было бы, в сущности, случайным, несмотря на то, что управляющие поведением шаров ньютоновы законы математически абсолютно детерминированы и, в принципе, эффективно вычислимы. Никакое вычисление не смогло бы предсказать реальное поведение последних шаров цепочки просто потому, что нет никакой возможности добиться достаточно точного опреде-

5В черновом варианте книги слова "извилистой" здесь не было. Если шары расположены точно на прямой линии, этот трюк оказывается достаточно простым: я узнал об этом, к своему удивлению, когда попробовал проделать это сам. При расстановке шаров по прямой возникает неожиданная устойчивость, отсутствующая в общем случае.