1.2. Формирование целых чисел в позиционных системах счисления
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением
цифры называют замену её другой
цифрой, следующей по величине.
«Продвинуть цифру 1» значит заменить её на 2, «продвинуть цифру 2» значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.
Целые числа в любой позиционной системе счисления формируются в соответствии со следующим правилом:
Для
образования целого числа, следующего
за любым данным целым числом, нужно
продвинуть самую правую цифру числа;
если какая-либо цифра после продвижения
стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую
слева от неё.
Применяя это правило, можно записать первые целые числа в различных системах счисления:
-
в десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…;
-
в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, …;
-
в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12,…;
-
в шестнадцатеричной системе:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,19,1А,1В,…
1.3. Системы счисления, используемые в вычислительной технике
Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы обусловлен тем, что основные радиоэлектронные элементы, использующиеся для создания вычислительной техники, могут находиться только в двух стабильных состояниях. С точки зрения работы этих элементов, их можно рассматривать как своеобразные «выключатели»: выключатель либо включен, либо выключен. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – цифрой 0.
Учитывая эту конструктивную особенность вычислительной техники двоичная система стала стандартом при построении различных электронно-вычислительных машин (ЭВМ).
Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.
Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе используются шестнадцать символов. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе, а для обозначения остальных шести цифр используются буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.
Таблица 1.1. Соответствие записи чисел в различных системах счисления.
|
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
10 |
2 |
2 |
|
3 |
11 |
3 |
3 |
|
4 |
100 |
4 |
4 |
|
5 |
101 |
5 |
5 |
|
6 |
110 |
6 |
6 |
|
7 |
111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
А |
|
11 |
1011 |
13 |
В |
|
12 |
1100 |
14 |
С |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
Е |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
|
16 |
10000 |
20 |
10 |
|
17 |
10001 |
21 |
11 |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
26 |
11010 |
32 |
1А |
|
27 |
11011 |
33 |
1B |
|
28 |
11100 |
34 |
1C |
|
29 |
11101 |
35 |
1D |
|
30 |
11110 |
36 |
1E |
|
31 |
11111 |
37 |
1F |
|
32 |
100000 |
40 |
20 |
|
33 |
100001 |
41 |
21 |
|
34 |
100010 |
42 |
22 |