II. Задачи и примеры Определенный интеграл
№№ 1 – 6. Вычислить
1. 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
№№ 7 – 12. Найти площади фигур, ограниченных линиями
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. Найти площадь фигуры между первым и вторым витками спирали Архимеда .
14. Найти площадь фигуры между локоном Аньези и параболой .
№№ 15 – 19. Найти длины дуг кривых
15. . 16. .
17. между прямыми .
18. . 19. .
20. Найти длину дуги части параболы , которая отсекается от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.
21. Найти длину дуги спирали Архимеда , которая находится внутри круга радиуса .
22. Найти объем тела, образованного вращением параболического сектора с основанием и высотой :
а) вокруг основания;
б) вокруг оси симметрии;
в) вокруг касательной, проведенной через вершину сектора.
23. Найти объем тела, которое отсекается от эллиптического параболоида плоскостью .
24. Показать, что объем части, которая отсекается плоскостью от тела, образованного вращением равнобочной гиперболы вокруг оси OX, равен объему шара радиуса .
25. Найти объем тела, образованного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты .
26. Какую работу нужно выполнить, чтобы растянуть пружину на 0.06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0.01 м?
27. Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания и высоту .
28. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с радиусом основания и высотой , погруженный в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды.
29. Вычислить кинетическую энергию прямого кругового конуса массы , вращающегося с угловой скоростью около своей оси,
если радиус основания конуса , а высота .
30. Найти центр масс дуги астроиды , которая лежит в первой четверти.
31. Найти моменты инерции площади эллипса относительно его главных осей.
32. Найти статический момент окружности относительно полярной оси.
Формула Тейлора
№№ 33 – 36. Написать разложения следующих функций по целым неотрицательным степеням
33. до члена с . 34. до члена с .
35. до члена с . 36. до члена с .
№№ 37 – 42. С помощью формулы Тейлора найти приближенное значение с точностью
37. . 38. .
39. . 40. .
41. . 42. .
№№ 43 – 46. Найти числа и такие, чтобы выполнялись следующие равенства
43.. 44..
45.. 46..
Функции многих переменных
№№ 47 – 50. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций
47. . 48. .
49. . 50. .
51. Показать, что , если .
52. . Показать, что какой бы ни была дифференцируемая функция .
53. Доказать, что выражение для плоской волны, которая распространяется вдоль оси OX, является решением волнового уравнения , где - фазовая скорость.
54. Показать, что , если .
55. Уравнения движения материальной точки . С какой скоростью увеличивается расстояние от этой точки до начала координат?
№№ 56 – 59. Найти производные первого и второго порядков от сложных функций
56. . 57. .
58. . 59. .
60. Найти и , если .
№№ 61 – 64. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций
61. . 62. .
63. . 64. .
65. Как изменится диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами 11 см, 10 см, 2 см, если и уменьшить на 2 мм, а сторону увеличить на 3 мм?
66. Центральный угол сектора изменился на . Как нужно уменьшить радиус сектора 10 см, чтобы площадь его осталась неизменной?
№№ 67 – 70. Вычислить приближенно значения выражений
67. . 68. .
69. . 70. .
№№ 71 – 74. Найти дифференциалы указанных порядков
71. . 72. .
73. . 74. .
№№ 75 – 78. Найти частные производные и
75. . 76. .
77. . 78. .
79. Найти , , , если , ,
.80. Найти , , , , если .
81. Найти в точке , , если , , .
82. Функция задана уравнением . Показать, что .
№№ 83 – 87. Решить уравнения, введя новые переменные
83. , .
84. , , .
85. , .
86. , , , , .
87. , , , , .
88. Найти размеры конуса наибольшего объема при условии, что площадь его боковой поверхности равна S.
89. Через точку M(a, b, c) провести плоскость, образующую с координатными плоскостями тетраэдр наименьшего объема.
90 На плоскости XOY найти точку M(x,y), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых , была бы наименьшей.
91. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
92. Найти наибольшую площадь треугольника с заданной стороной и противолежащим углом .
№№ 93 – 96. Исследовать на условный экстремум следующие функции
93. при условии .
94. при условии .
95. при условии , .
96. при условии , .