- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
27 Множення матриць
Добутком матриці А (розмірів m на k) на матрицю В (k на n) називається АВ розмірів m на n, елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів і-го рядка А і j-го стовпця В. {AB}ij=∑ks=1ais*bsj (1)
Множення матриць можливе лише тоді, коли кількість стовбців А дорівнює кількості рядків В.
Властивості добутку матриць
1) α(АВ)=( αА)В=А(αВ)
2) (А+В)С=АС+ВС
3) А(В+С)=АВ+АС
4) (АВ)С=А(ВС)
5) (АВ)т=ВтАт
Доведення
Властивості 1-3 очевидні
{(AB)C}ij A m*n, B p*k, C k*n
{(AB)C}ij=∑kl=1 (∑ps=1aisbsl)clj
{(AB)C}ij=∑ps=1ais(∑kl=1bsl clj)
Одержані суми відрізняються лише порядком доданків. Отже маємо рівність відповідних елементів
{(AB)т}ij={AB}ij=∑ks=1ajsbsi=∑ks=1{Aт}sj{Bт}is=∑ks=1{Bт}is{Aт}sj={Bт Aт }ij
У загальному випадку АВ≠ВА навіть можливо, що ВА – не існує .
Введемо поняття лінійної комбінації стовбців і рядків А. Позначимо і-тий рядок А аі.=(аі1,ai2,...,ain) a.j=(a1j,a2j,...,amj)т
Лінійною комбінацією рядків матриці А називається сума ∑mi=1αiai. , де αi – дійсні, і=1,m Лінійною комбінацією стовбців матриці А називається сума ∑nj=1 βja.j , де βj є R, j=1,n
Перепишемо формулу (1) у 2 випадках
{AB}.j=∑ks=1a.sbsj (2)
{AB}i.=∑ks=1aisbs. (3)
Формула (2) показує, що будь-який j-тий стовбець є лінійною комбінацією стовбців А при чому коефіцієнти утворюють j-тий стовбець В.
З (3) випливає, що і-тий рядок В є лінійною комбінацією рядків В. Коефіцієнти лінійної комбінації є елементами і-того рядка А. Отже, якщо треба працювати зі стовбцями (рядками) матриці то треба помножувати матрицю на відповідні матриці справа(зліва).
28 Елементарні перетворення матриць
Елементарними називаються такі перетворення:
множення рядка (стовпця) на число, що не дорівнює 0;
додавання до рядка(стовпця) іншого рядка (стовпця) , помноженого на довільне число
переставлення будь-яких рядків(стовпців)
Дві матриці називаються еквівалентними, якщо кожна з них отримується з іншої за допомогою скінченої кількості елементарних перетворень. Якщо елементарні перетворення застосовуються до одиничної матриці Е то одержимо матрицю, яка є елементарною. Введемо позначення елементарних матриць:
Еі(λ) – множення і-того рядка на число λ .
Еij(λ) – додавання і-того рядка j-того рядка, помноженого на λ.
Еij – переставлення і-того і j-того рядків Е.
З (3) випливає, що кожне елементарне перетворення з рядками В рівносильне множенню її зліва на відповідну елементарну матрицю.
З (2) випливає, що елементарні перетворення стовбців А рівносильні множенню її справа на елементарні матриці.
Еіт(λ)=Еі(λ)
Еijт=Еij
32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
Комплексне число – z = a + ib, де i – уявна одиниця
z = a + ib - алгебраїчна форма комплексного числа
а – дійсна частина
b – уявна частина
Якщо b=0, то
Якщо а=0, то
Кожному комплексному числу відповідає пара дійсних чисел a,b. Навпаки кожній парі a,b відповідає комплексне число.
Компл. числа можна представляти, як точки компл. площини. При цьому ОХ – дійсна вісь, а ОУ – уявна вісь. В багатьох випадках компл. число зручно представляти, як радіус-вектор точки з координатами А,В.
аргумент компл. числа визначається з точністю до
Тригонометрична ф-ла: