11 Декартова система координат

Розглянемо в просторі R³ ортонормований базис i, j, k.

1) |i| = |j| = |k| = 1

2) вектори попарно ортогональні

Зведемо ці вектори до спільного початку О та розташуємо їх так, щоб вони утворювали праву трійку.

i, j, k є ортами відповідно осей координат OX, OY, OZ

A

• Проведемо через т.А площини, перпендикулярні до осей.

• При перетині одержимо точки А₁, А₂, А₃

• ОА₁, ОА₂, ОА₃ – визначають числові проекції вектора а на осі координат

ОА = ОА₁ + ОА₂ + ОА₃

ОА₁ = пр._ox а * i

ОА₂ = пр._oy a * j

ОА₃ = пр._oz a * k

Означення: x = пр._ox а y = пр._oy a z = пр._oz a

Маємо розклад вектора а за ортами декартової прямокутної системи координат

a = x*i + y*j + z*k = (x; y; z)

Введемо кут між а і осями:

 = (a^i);  = (a^j);  = (a^k)

Застосовуючи проекції маємо

cos =

cos =

cos =

За т.Піфагора маємо

|a|² = x² + y² + z²

cos² + cos² + cos² = 1

Введені косинуси кутів називаються напрямними косинусами вектора а, вони є координатами орта а.

e_a = (cos; cos; cos)

Переформулюємо в координатній формі означення та лінійні операції над векторами.

1) 0 = (0;0;0)

2) a = b

a = (x;y;z)

b = (x₁;y₁;z₁) => x = x_1; y = y_1; z = z₁

3) a = (x;y;z)

4) a + b = (x₁+x₂;y₁+y₂;z₁+z₂)

5) a = AB

A(x₁;y₁;z₁) B(x₂;y₂;z₂)

a = (x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

(12)Скалярний добуток векторів

скалярним добутком векторів а і b називається число аb, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний квадрат: а²=а*а=|а|²

Властивості:

1. а*b = |a|_пр.а* b = |b|_пр.b * a

2. а*b = b*а

3. (a)*b =  * (ab)

4. a(b+c) = a*b + a*c

5. a*b = 0 <=> a = 0  b = 0  ab

Ознака ортогональності: два ненульові вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0.

Координатна форма скалярного добутку:

Нехай задано a і b в координатній формі.

a = x₁*i + y₁*j + z₁*k

b = x₂*i + y₂*j + z₂*k

(x₂*i + y₂*j + z₂*k)( x₁*i + y₁*j + z₁*k) = x_1*x₂ + y_1* y₂ + z_1* z₂

|a| =

cos =

13. Векторний добуток векторів.

Векторним добутком векторів а і в називається вектор с=а*в = [а,в], який задовольняє такі умови :

1. |с| = площі паралелограма, побудованого на векторах а і в.

2. С перпендикулярно до площини , в якій лежать а і в.

3. а,в,с утворюють праву трійку.

Властивості векторного добутку:

1. |с| = |а*в| = S= |а|*|в| * sin φ, φ – кут між а і в.

2. антикомутативність: а*в=-в*а

3. ( а+в)*с=а*с+в*с

4. ( λа)*в = λ ( а*в)

5. а*в=0 <=> а=0 ( в об’єднані ) в=0 ( в об’єднані ) а || в.

Координатна форма векторного добутку:

I j k y1 z1 x1 z1 x1 y1

а*в= x1 y1 z1 = ( y2 z2 ;- x2 z2 ; x2 y2 ).

x2 y2 z2

Доведення:

Нехай а = x1*I + y1*j + z1*k

b = x2*i+ y2*j+z2*k ( I, j k – орти декартової системи координат ).

а*в=( x1*I + y1*j + z1*k) * (x2*i+ y2*j+z2*k ) = ( перемножуємо ) = k ( x1y2 – x2y1) + I (y1z2 – z1y2 ) – j ( x1z2 – z1x2 ) =

y1 y2 x1 x2 x1 x2 i j k

= I z1 z2 - j z1 z2 +k y1 y2 = x1 y1 z1

x 2 y2 z2 .