- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
1)Для 2 порядку
=|a11 a12|
a21 a22
1 =|b1 a11|
b2 a22
2 =|b1 a11|
b2 a22
Теорема: СЛР2 має єдиний розв’язок, якщо 0. Цей розв’язок визначається за формулами крамера x1=(1/)x2=(2/)
Якщо =1=2=0 ,то система має безліч розв’язків
Якщо =010 (20) - несумісна
Доведення:
x1*(a11*a22-a12*a21)=b1*a22-a12*b2
1
звідси: x1==(1/)
2)
= a11 a12 a13
|a21 a22 a23|
a31 a32 a33
b1 a12 a13
1 = | b2 a22 a23|
b3 a32 a33
a11 b1 a13
2= |a21 b2 a23 |
a31 b2 a33
a11 a12 b1
3= | a21 a22 b2 |
a31 a32 b3
Теорема: СЛР3 має єдиний розв’язок, якщо 0. Цей розв’язок визначається за формулою Крамераxj=(j/) ,j=
Якщо =j =0, j= ,то система має безліч розв’язків, або система = 0
Якщо =0,j0 ,j= ,то система несумісна
6Означення визначника n-го порядку
Озн: Визначником n-го порядку ,що відповідае квадратній матриці А n-го порядку , називається алгебраїчна сумма n! доданків, які є всіма можливими добутками елементів, узятих по одному і тільки по одному зкожного рядка і кожного стовбця, причому доданок береться із знаком , де - кількість інверсій у перестановці других індексів елементів доданка , коли ці елементи розміщені в порядку зростання перших індексів.
*,де підсумування здійснюється за всіма переставленнями чисел 1,2,…,n
7Властивості визначників n-го порядку
Значення визначника не зміниться при його транспортуванні – при заміні рядків відповідними стовбчиками і навпаки.
ДОВЕДЕННЯ
Розглянемо відповідні доданки визначників detA і detA
і
Виписані доданки складаються з однакових множників
Нехай > , тобто є інверсія тоді переставимо місцями тау 2-му добутку, тому виникне інверсія і у другому добутку,і т.д.
Висновок: кількість інверсій у першому добутку дорівнює кількості інверсій у
2-му, доданки мають однакові знаки , отже Визначники РІВНІ!!!
При переставленні двох сусідніх рядків(стовбців) змінюється парність переставлення, тобто маємо інверсію.
ДОВЕДЕННЯ:
Нехай треба поміняти місцями і-й і к-й рядок, причому між ними – м рядочків. Якщо переставити к-й рядок на місце і-го, то матимемо (м+1) переставлень; якщо преставимо і-й на к-й , то маємо м переставлень. Всього (2м+1) переставлень. Тому кількість інверсій змінюється на непарне число (2м+1), та це призводить до зміни знаку у кожному доданку. Висновок:при переставленні рядків, визначник змінює знак.
Спільний множник всіх елементів деякого рядка(стовбця) можна винести за знак визначника.
ДОВЕДЕННЯ:
Випливає з того , що кожний доданок алгебраїчної сумми містить 1 , і тільки 1, елемент кожного рядка.
Якщо увизначника всі елементи деякого рядка є сумами двох доданків, то цей визначник дорівнює суммі двох визначників, що відрізняються від заданого вибраним рядком
ДОВЕДЕННЯ:
Якщо елементи і-го рядка є сумами 2-х доданків, то будь-який додатковий визначник представляється у вигляді **...**...*=
=**...*()*...*=**...**...*+
+**...**...*
Де і-ті доданки є членами розкладу визначника ’ ,а другі- доданка“
Визначник =0 , при виконанні 1-ї з наступних умов.
Всі елементи деякого рядка(стовбця)=0
Всі елементи деякого рядка(стовбця) – пропорційні відповідним елементам іншого рядка(стовбця).
Якщо є 2 однакових рядки(стовбці)
Доведення
1)Очевидний
2)всилу 3-го пункту
3)нехай у визначнику D є 2 однакові рядки,переставимо місцями ці рядки D=(- D) D=0
Визначник не змінює свого значення, якщо до елементу деякого рядка(стовбця) додати відповідні елементи іншого рядка(стовбця), домноженого на деяке число.
ДОВЕДЕННЯ:
Це наслідок властивостей 3,4,5.
Формула Лапласа для визначників n-го порядку:
розклад за j–м стовбцем
розклад за і –м рядком
ДОВЕДЕННЯ:
Згрупуємо всі доданки визначника D , які містять елемент і позначемо це як сумму =( Отже множення на – не вносить інверсію,тобто не впливає на знак результату. Підсумування () виконується по всіх переставленнях чисел 2,3,...,n . Тобто маємо (n-1)! Доданків)
=
З’ясуєму чому дорівнює сумма доданків у розкладі D, що містить множник . Побудуємо матрицю з матриці a переставленням і-го рядка на 1-ше місце всьго буде переставлень (і-1)+(j-1)=i+j-2
Тоді за властивістю 2 матимемо
загальна кількість доданків в правій частині (n-1)!*n=n!
Одержаний вираз містить n! доданків. Всі доданки- різні і мають ті ж знаки, що і у розкладі detA але у розкладі detA є всього n! доданків, отже detA= ,
8) ,jk ; j,k=
,ik ; i,k=
ДОВЕДЕННЯ:
Поміняэмо елементи і-го рядка зліва і зправа в формулі Лапласа на елементи 1-го рядка. Тоді визначник = 0 =
Узагальнимо властивості 7,8:
-символ Кронекера
=
8Поняття вектора.Лінійні дії над векторами.
Вектор-направлений відрізок AB, де А- початок, B- кінцева точка вектора.
Нуль-вектор()-вектор у якого початок і кінець збігаються.
Будьякий вектор характеризується напрямком і довжиною(модулем)
Нуль вектор: ||=0,напрям-невизначений.
Колінеарні вектори і, якщо лежать на одній, або паралельних прямих
-колінеарні співнапрямлені
- колінеарні протилежно напрямлені
Вектори іназиваються рівними, якщо:
||=||
Зауваження: рівний, можна одержати зпаралельним перенесенням Вектор є вільним відносно точки прикладення.
Лінійні Операції над векторами
||=||*||
,>0 ,<0
= =0 i =
Вектор -називається протилежним, якщо -=(-1)
Зауваження: // =
Якщо , то ||0
, ||=1 тоді =||*
Властивості добутку вектора на скаляр
1*=
()= ()
Сумою Векторів іназиваеться вектор=+,який визначається за правилом трикутника , або паралелограма.Узагальненим правилом трикутника є правило многокутника.
Різниця: =-це такий вектор, що+=
Властивості суми векторів:
комутативність: +=+
анеціативність: ++= (+)+
дистренбутивність (+)= +
*=+
4) +=+(-)=