59. Розширення множини дійсних чисел

Множина R відображається числовою прямою, тобто кожному дійсному числу поставлена у відповідність одна і тільки одна точка числової прямої. В багатьох випадках зручно доповнити множину R елементами + нескінченість, - нескінченість(невласні дійсні числа)

Означення: множина R=V-називається розширеною множиною дійсних чисел, при чому виконується такі умови:

1) R -< a <+;

2)) а+(-)=-;

3)) a+(+)=+;

4)) a/+= a/-= 0

2) якщо a>0,то a(-)=+ a+(+)=-

Підмножинами розширеної множини дійсних чисел є числові проміжки: відрізок,інтервал, пів відрізок, пів інтервал

R

[a,b] = xR: a≤x≤b

(a,b) = xR: a<x<b

[a,b) = xR: a≤x<b

(a,b] = xR: a< x≤b

a,b- кінець проміжку

якщо а,bR, то визначена довжина проміжкуb-a

точки x a<x<b наз. внутр. точка проміжку

околом скінченої х₀ наз. множина О_е (х₀) = xR: х₀-е<x< х₀+е=( х₀-е; х₀+е)

е- околом нескінченно віддаленої точки називається множина О_е (+)=(;+],е>0

О_е(-)=[-;-),е>0 проколеним околом скінченої точки х₀R наз. О_е(х₀) = О_е (х₀)\ х₀

З означення околів точок R випливає така властивість точок розширеної числової осі: у двох будь-яких різних точок з R є околи, що не перетинаються.

60. Основні характеристики дійсного числа.

Основні хар-ки дійсного числа – модуль і знак.

О. Модулем дійсного числа х наз. число |x| ={x , при x>=0, або -x ,при x<0.

О. Знак дійсного числа визначається рівністю sgn(x)={1 при x>0, або 0 при x=0, або -1 при x<0.

Очевидні співвідношення: х= /х/ sgn(x), /х/= х sgn(x), sgn(x*у)= sgn(x)* sgn(у).

Властивості модуля

1) |x|>=0; |x|=0  x=0

2) |x|=|-x|

3) |x|>=x; |x|>=-x

4) |xy|=|x||y|; |x/y|=|x|/|y| , y<>0.

5) ||x|-|y||<=|x+-y|<=|x|+|y|

6) |x-x0|<a, a>0 x є (x0-a; x0+a)

|x-x0|>a x є (-∞; x0-a)U(x0+a; +∞)

|x-x0|<=a, a>0 x є [x0-a; x0+a]

|x-x0|>=a x є (-∞; x0-a]U[x0+a; +∞)

61. Обмежені та необмежені числові множини.

О. Числова множина –це підмножина множини дійсних чисел.

О. Числова множина Х наз обмеженою зверху якщо існує М є R, таке що для будь-якого хє Х: х<=M.

Число М наз обмежувальним зверху множину Х.

О. Числова множина Х наз обмеженою знизу, якщо існує m є R, що для будь-якого х єХ виконується х >=m.

Число m – обмежувальне знизу множину Х.

О. Множина Х наз обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу.

Х не обмежена зверху, якщо для будь-якого М є R існує х є Х таке, що х>M.

X не обмежена знизу, якщо для будь-якого m є R існує х є Х таке, що х<m.

О. Множина Х наз необмеженою якщо вона не є обмеженою зверху і знизу.

62. Верхня та нижня межа множини.

О.1. Нехай числова множина Х обмежена зверху. Найменше серед усіх чисел обмежувальних зверху множину Х наз його (точною) верхньою межею, і позначається: supremum ( supX). Нехай числова множина Х обмежена знизу. Найбільше серед усіх чисел обмежувальних знизу множину Х наз його (точною) нижньою межею, і позначається: infimum (infX).

Переформулюємо О.1 розшифрувавши використані поняття.

О.1.1. Число β=supX наз верхнею межею множини якщо:

1) для будь-якого хєХ х<=β

2) для будь-якого β1<β, β1єR існує хох таке що х>β1 ( або для будь-якого ε>0 існує хєХ таке що х>β-ε )

Число α=infX наз нижнеюмежею множини якщо:

1) для будь-якого хєХ x>=α

2) для будь-якого α1>α, α1єR існує хєХ таке що х<α1 ( або для будь-якого ε>0 існує хєХ таке що х<α+ε )

Теорема 1.

Будь-яка обмежена зверху(знизу) не порожня числова множина має верхню(нижню) межу.

Доведення. Нехай розглядається числова множина А≠Ø і обмежена зверху. Позначимо В – множина всіх обмежувальних зверху чисел. Тоді для будь-якого aєА і для б-якого bєВ виконується a<=b. За аксіомою неперервності R існує дійсне число βєR таке що a<=β<=b.

Для будь-якого аєА а<=β => β- обмежувальне. Для будь-якого bєА b<=β => β-найменше з усіх обмежувальних. За О.1 супремума маємо, що β – supA. (про інфімум доводимо аналогічно). Доведено.

Зауваження. Якщо Х – необмежена зверху, то кажуть supX=+∞, Якщо Х – необмежена знизу, то кажуть infX=-∞.

Висновок. Кожна числова множина має верхню (нижню) межу, скінченну або нескінченну.

Наслідок з теореми 1.

Якщо для будь-якого aєR та хєХ виконується х<=a (x>=a), то supX<=a (infX>=a).

В нерівностях можна переходити до супремуму та інфимуму.

О. Арифметичною сумою числових множин Х1,Х2,...,Хn наз множина що склад з дійсних чисел вигляду Х1+Х2+...+Хn, де кожен xi є Хі, і=1,n.

О. Арифметичною різницею числових множин Х-У наз множина що склад з елементів вмду х-у, де xєХ, уєУ.

О. Добутком множин Х на число λ наз множина λХ, що склад з елементів λх, хєХ.

Арифметичні властивості верхніх і нижніх меж:

1) sup(X1+X2+…+Xn)= sup(X1)+ sup(X2)+…+sup(Xn)

inf(X1+X2+…+Xn)= inf(X1)+ inf(X2)+…+inf(Xn)

2) λ>0: sup (λX) = λ supX

inf (λX) = λ infX

λ<0: sup (λX) = λ infX

inf (λX) = λ supX

3) sup (X-Y) = supX-infY.