Нач геом

71

Пример 31. Определять точку пересечения прямой DЕ с плоскостью

АВС.

Решение (рис. 79). Порядок решения остается неизменным.

1)Через заданную прямую проводим фронтально-проецирующую плоскость S (проводится только главный след, так как второй след в решении не участвует).

2)Находим линию пересечения двух плоскостей M2N2↓M1N1.

3)На пересечении M1N1 с С1D1 находим точку К1, a затем ее фронтальную проекцию K2. Это и есть искомая точка пересечения прямой DE с плоскостью треугольника ABC.

4)Определяем видимость прямой с помощью конкурирующих то-

чек М2 и З2 при виде сверху, а 12 и 22 - виде спереди. Делаем окончательную обводку чертежа.

5.4.2. В тех случаях, когда задана прямая уровня, параллельная ка- кой-либо плоскости проекций, для определения точки ее пересечения с заданной плоскостью в качестве вспомогательных применяются горизонтальная или фронтальная плоскости.

На рис. 80 показано построение с помощью фронтальной (рис. 80, а) и с помощью горизонтальной (рис. 80, б) вспомогательных плоскостей.

73

Если плоскость задана не следами, то для определения точки пересечения прямой с плоскостью можно через проекцию прямой в виде точки проведен любую прямую МN, принадлежащую заданной плоскости, а не обязательно горизонталь или фронталь.

5.4.4. Если прямая пересекается с плоскостью часть____ положения, то точка ее пересечения с этой плоскостью находится на пересечении прямой с главным следом плоскости (рис. 82, а).

Рис. 82.

Некоторые исключения из этого правила составляет профильнопроецирующая плоскость. Чтобы найти точку пересечения прямой с этой плоскостью, надо воспользоваться вспомогательной проецирующей плоскостью (рис. 82, б) или построить третью проекцию.

5.5.Прямая, перпендикулярная плоскости

5.5.1.Прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная

проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальная проекция - к горизонтальной проекции горизонтали.

В общем случае для построения перпендикуляра к плоскости можно использовать любые две пересекающиеся прямые, принадлежащие этой плоскости, однако проведение перпендикуляров всегда связано с проецированием прямых углов, поэтому в качестве двух пересекающихся прямых принимают горизонталь и фронталь, которые легко построить на чертеже и на базе которых прямые углы строятся без искажения (см. п. 3.5.4).

Это правило относится только к тем случаям, когда плоскости заданы не следами, а плоскими фигурами.

Пример 32. Из точки М опустить перпендикуляр на плоскость треугольника ABC.

Решение (рис. 83). В плоскости треугольника проводим горизонталь А2Е2, D1E1 и фронталь A1F1, A2F2. Из точки М проводим горизонтальную

74

проекцию перпендикуляра (М1) D1E1 и фронтальную проекцию перпендикуляра (М2) A2F2. Находим основание перпендикуляра R как точку пересечения прямой линии с плоскостью (см. пример 31). Для этого через перпендикуляр (М2) проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость R2 (ее главный след). Остальное построение известно.

R2 M2

K1 D1

f1 E1 A1

11

21

C1

M1

Рис. 83.

5.5.2. Если плоскость задана следами, то условие перпендикулярно-

сти можно сформулировать так: прямая перпендикулярна плоскости, если

ее проекции перпендикулярны к одноименным следам плоскости.

Пример 33. Из точки М опустить перпендикуляр на плоскость Р. Решение (рис. 84). Через точку М2 проводим фронтальную проек-

цию перпендикуляра (М2) Р2. Через точку М1 проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра (М1) Р1. Находим основание перпендикуляра К1, К2 как точку пересечения прямой линии с плоскостью, для чего через проекцию перпендикуляра (М1) проводим вспомогательную горизонталь- но-проецирующую плоскость (ее главный след). Дальнейшее решение задачи (см. пример 30).

76

Пример 34. В точке К, принадлежащей заданной плоскости, восстановить перпендикуляр к этой плоскости произвольной длины.

Решение. 1) Если плоскость задана не следами, а любым другим способом (рис. 86, а), то сначала через заданную точку надо провести горизонталь и фронталь (проекции точки К1 и К2 должны лежать на их пересечении), а затем восстановить проекции перпендикуляра произвольной

длины: М1К1 А1Е1 и М2К2 С2D2.

2) Если плоскость задана следами (рис. 86, б), то через заданную точку надо провести горизонталь или фронталь (чтобы убедиться, что точка принадлежит заданной плоскости), а проекции перпендикуляра проводить перпендикулярно к следам плоскости: М2К2 Р2 и М1К1 Р1.

Рис. 86.

Пример 35. Через точку М провести плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ.

Условие 5.5.1 можно перефразировать так: плоскость перпендикулярна к прямой, если ее следы перпендикулярны к одноименным проекциям прямой, и на этом построить решение задачи (рис. 87).

77

A1

в)

Рис. 87.

78

Если точка М лежит в какой-либо плоскости проекций, то один из следов искомой плоскости можно провести через проекцию точки на этой

плоскости (рис. 87, а): Р1 А1В1, Р2 А2В2.

Если точка расположена в пространстве, то сначала через нее надо провести горизонталь искомой плоскости h1 А1В1, найти след этой горизонтали h π 2 на h2║ОХ и только после этого можно проводить сперва

фронтальный след Р2 D2В2, а затем горизонтальный след искомой плоско-

сти Р1 А1В1 (рис. 87, б).

На рис. 87, в приведен другой вариант решения задачи. Здесь искомая плоскость построена не следами, а двумя пересекающимися прямыми, проведенными через заданную точку. Одна из них является горизонталью, а другая - фронталью искомой плоскости: горизонталь h1 A1B1, h2║ОX, фронталь f1║ОX, f2 А2В2.

В варианте, изображенном на рис. 87, б вместо горизонтали с одинаковым результатом может быть проведена фронталь f2 A2B2 и ее горизонтальный след fπ1 .

Пример 36. Из точки F опустить перпендикуляр на прямую общего положения.

Решение (рис. 88). Опустить перпендикуляр из заданной точки на прямую общего положения нельзя, так как прямой угол в этом случае будет проецироваться с искажением и положение основания перпендикуляра неизвестно. Однако найти основание перпендикуляра можно, если через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную к заданной прямой и найти точку их пересечения.

Рис. 88.

80

Пример 38. Через точку А провести проецирующую плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости Р.

Решение (рис. 90). Когда одна из плоскостей является проецирующей, то для решения задачи никаких дополнительных условий не требуется, возможно только одно решение.

Рис. 90.

Пример 39. Через прямую DE провести плоскость, перпендикулярную к плоскости треугольника ABC.

Решение (рис. 91). В плоскости ABC проводим горизонталь C2N2, С1N1 и фронталь А1М1, А2М2. Из точки Е проводим прямую, перпендикулярную к плоскости ABC: E1F1 C1N1, E2F2 А2М2 и тем самым получаем искомую плоскость в виде двух пересекающихся прямых DE и ЕF. Однако целесообразно задачу довести до логического конца, т.е. изобразить найденную плоскость в виде треугольника DЕF, найти линию взаимного пересечения двух плоскостей и определить видимость фигур относительно друг друга. Порядок этого завершающего решения известен (см. п. 5.2.8).