Нач геом

41

В общем случав плоскость имеет три следа, название которых определяется той плоскостью проекций, на которой они расположены: горизонтальный Р1, фронтальный Р2 и профильный Р3.

Профильный след в начертательной геометрии применяется редко, поэтому в дальнейшем мы его рассматривать не будем. На чертежах изображаются только видимые участки следов, но при необходимости каждый след может быть продолжен в своей невидимой части.

Следы плоскости обязательно пересекаются в точках, расположенных на осях проекций и называемых точками схода Рх, Ру и Рz.

4.1.3. Следы плоскости можно рассматривать как пересекающиеся прямые, каждая из которых принадлежит одной из плоскостей проекций, поэтому вторые проекции следов совпадают с осью проекции (см. п. 3.1.4). На чертежах вторые проекции следов принято не обозначать, но если взять на следах произвольные точки, то их вторые проекции находятся на оси X (рис. 44).

4.2.Плоскости общего и частного положения

4.2.1.Если плоскость не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения.

На чертеже все ее проекции представляют собой развернутые фигуры, а следы расположены под некоторыми углами к оси проекции Х.

По положению проекций или следов этой плоскости можно судить

оее положении в пространстве. Если, например, оба следа расположены по одну сторону от точки схода или обозначение точек фигуры на обеих проекциях идет в одном направлении (например, по часовой стрелке), то эта плоскость является плоскостью односторонней видимости, то есть на обеих проекциях обращена к нам одной стороной (рис. 45, а).

42

а)

б)

в)

Рис. 45.

Если же следы расположены по разные стороны от точки схода или нумерация точек заданной фигуры на двух проекциях идет в разных направлениях, то эта плоскость является плоскостью двусторонней видимо-

43

сти - при взгляде сверху видна одна ее сторона, при взгляде спереди - другая (рис. 45, б).

Плоскость двусторонней видимости имеет частный случай, когда оба следа расположены под одинаковыми углами к оси X. Такая плоскость является равнонаклонной к плоскостям проекций х1 и х2. Заметим, что горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости находятся на одной прямой (рис. 45, в), в действительности же это две резные прямые.

4.2.2. Плоскости, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций являются плоскостями частного положения и называются проецирующими. Эти плоскости имеют характерные свойства, благодаря которым они находят, очень широкое применение в начертательной геометрии. Их может быть три вида.

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная к плоскости х1 (рис. 46).

Рис. 46.

44

Фронтальный след этой плоскости всегда перпендикулярен к оси X, а горизонтальный расположен под некоторым острым углом, который является истинным углом наклона плоскости к плоскости х2. Горизонтальный след является проекцией данной плоскости на плоскость х1, здесь мы видим плоскость как бы с ребра, поэтому горизонтальные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, принадлежащих этой плоскости, сливаются с горизонтальным следом.

Условимся называть этот след плоскости главным.

Пример 13. Через прямую АВ провести горизонтальнопроецирующую плоскость Р.

Решение (рис. 47). Поскольку прямая АВ должна быть заключена в горизонтально-проецирующую плоскость, то ее горизонтальная проекция должна совпадать с горизонтальным следом этой плоскости. Следовательно след Р надо провести через проекцию А1В1 до пересечения с осью X, а затем - след Р2 перпендикулярно к оси X.

P2

B2

A2

Px

A1

B1

P1

Рис. 47.

Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к плоскости х2 (рис. 48).

45

Рис. 48.

Горизонтальный след этой плоскости всегда перпендикулярен к оси X, а фронтальный составляет с осью X некоторый острый угол, показывающий истинный угол наклона этой плоскости к плоскости х1. Фронтальный след - главный, потому проекции всех точек, прямых и фигур, принадлежащих этой плоскости, сливаются с фронтальным следом.

Пример 14. Через прямую АВ провести фронтально-проецирующую плоскость.

Решение (рис. 49). Поскольку прямая АВ должна быть заключена во фронтально-проецирующую плоскость, то ее фронтальная проекция должна слвпадать с фронтальным следом плоскости. Проводим через нее главный след Q2, а затем – горизонтальный след Q1 ОХ.

46

Рис. 49.

Профильно-проецирующая плоскость – перпендикулярна к плоскости х3 (рис. 50).

47

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси X, а главным следом является профильный след Р3. Если плоскость задана не следами, а например, плоской фигурой, то ее профильная проекция должна превращаться в прямую линию.

Проецирующие в частном случае могут проходить через оси проекций, тогда они дополнительно называются осевыми, например, осевая го- ризонтально-проецирующая плоскость проходит через ось Z, фронтальнопроецирующая плоскость - через ось У, профильно-проецирующая плоскость -через ось Х. Если при этом осевая плоскость делит проекционный угол пополам, то она носит название биссекторной.

4.2.3. Плоскости частного положения, параллельные какой-либо плоскости проекции, носят общее название плоскостей уровня. Эти плоскости также имеют широкое применение в начертательной геометрии в качестве вспомогательных.

Горизонтальная плоскость параллельна плоскости π1. В системе π1π2 она имеет только один фронтальный след (рис. 51), параллельный оси Х. Фронтальные проекции прямых и фигур, принадлежащих этой плоскости, сливаются со следом S2, а их горизонтальные проекции как по форме, так и по величине равны самим фигурам.

Рис. 51.

Фронтальная плоскость – параллельна плоскости π2 (рис. 52). Она также широко применяется в начертательной геометрии в качестве вспомогательной.

49

4.3.Прямая и точка, принадлежащие плоскости

4.3.1.Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Пример 15. Построить недостающую проекцию прямой m, принадлежащей заданной плоскости.

Решение (рис. 54). Дана плоскость, заданная двумя пересекающи-

мися прямыми АВ и ВС и фронтальная проекция прямой m2. Отмечаем на фронтальных проекциях две общие точки 12 и 22, находим при помощи линии связи их горизонтальные проекции 11 на проекции А1В1 и 21 – на проекции В1С1. Через полученные точки проводим недостающую проекцию

прямой m1.

Рис. 54.

4.3.2. Прямая принадлежит плоскости, если ее следы находятся на одноименных следах плоскости.

Пример 16. Построить недостающую проекцию прямой АВ, принадлежащей заданной плоскости Р.

Решение (рис. 55). Дана горизонтальная проекция прямой А1В1. Продлим эту проекцию в обе стороны до пересечения со следом Р1 и с осью X и отмечаем точки 11 и 21. Находим 12 на оси X, 22 - на следе Р2 (см. п. 4.1.3), соединяем их прямой линией и находим на ней недостающую проекцию прямой А2В2. Точки 11 и 22 есть ни что иное, как следы прямой АВ (см. п. 2.2).

Из п.4.3.2 вытекает следствие: следы плоскости проходят через следы принадлежащей ей прямой. Однако, через одну прямую можно провести множество плоскостей, и следы всех их будут проходить через следы одной прямой. Чтобы задача стала определенной, необходимо задать дополнительное условие, которое позволило бы из множества плоскостей построить одну единственную плоскость общего положения. Таким дополнительным условием может быть отдельная точка, вторая прямая, точка схода и др.

Таким образом, если плоскость задана не следами, а параллельными прямыми, плоской фигурой, мы можем найти ее следы.

Пример 17. Построить следы плоскости P, заданной двумя параллельными или пересекающимися прямыми.

На рис. 56, а плоскость задана двумя параллельными прямыми m и n. Сперва находим горизонтальные следа обеих прямых m1, n1 и проводим через них горизонтальный след плоскости Р1 до пересечения с осью X. Затем находим фронтальный след хотя бы одной из прямых, например, n2. Через этот след из точки схода проводим фронтальный след плоскости Р2.