Нач геом

На рис. 101, а плоскость треугольника ABC преобразована в положение горизонтальной плоскости. В первом действии новая ось проекций X' проведена перпендикулярно горизонтали A1D1, и треугольник превра-

тился в прямую линию A'2 B'2C'2 . Во втором действии новая ось проекций

93

X" проведена параллельно этой прямой и треугольник стал параллелен горизонтальной плоскости проекций π1' .

На рис. 101, б заданная плоскость АВС общего положения преобразована в положение, параллельное плоскости π'2 . Сначала в систему π1π2 вводится новая плоскость x1' и получается новая горизонтальная проекция треугольника A1'B1'C1' . Затем вводится в систему π1'π2 вторая дополнительная плоскость π'2 (новая ось проекций Х''параллельная преобразованной проекции треугольника A1'B1'C1' ) и заданная плоскость становится фронтальной плоскостью A'2 B'2C'2 .

6.2. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций

6.2.1. Сущность способа заключается в том, что в процессе преобразования система плоскостей проекций π1π2 остается неизменной, а изменяется положение в пространстве самого предмета путем его вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции π1 или π2 до тех, пока предмет или его элементы не окажутся в частном положении относительно

системы π1π2.

В зависимости от положения оси вращения различают несколько вариантов этого способа.

6.2.2. Преобразование отдельной точки. Отдельная точка, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, описывает окружность, плоскость которой параллельна этой плоскости, следовательно, траектория движения точки проецируется на эту плоскость без искажения в виде окружности с центром на оси вращения (рис. 102). На другой же плоскости проекций траектория проецируется в виде прямой, параллельной оси X.

94

На рис. 102, а показано перемещение точки А на позицию А' вращением вокруг оси i, перпендикулярной плоскости π1 (здесь ось вращения проецируется в точку), на рис. 102, б - то же самое вокруг оси i, перпендикулярной плоскости π2.

6.2.3. Преобразование прямой. Преобразование прямой из общего положения в частное, параллельное плоскости проекций, производится способом вращения в следующем порядке (рис. 103).

1)Выбирается положение оси вращения i1π1 (рис. 103, а). Ось вращения целесообразно проводить через одну из конечных точек отрезка, например, через точку А, тогда эта точка в процессе преобразования остается на месте, и вращать придется только точку В вместе с отрезком. Тем самым решение задачи упрощается.

2)Горизонтальная проекция точки В перемещается по дуге окруж-

вится параллельным оси X.

3)Фронтальная проекция точки В2 перемещается параллельно оси

Хв положение B'2 , соответствующее позиции B1' .

4)Точки A'2 и B'2 соединяются прямой и получается фронтальная

проекция отрезка АВ в натуральную величину. Одновременно определяется угол наклона прямой к плоскости π1 .

На рис. 103, б показано преобразование прямой АВ вращением вокруг оси, перпендикулярной плоскости π2. Решение выполняется аналогично, с той лишь разницей, что по дуге окружности радиусом R=А2В2 перемещается фронтальная проекция отрезка и одновременно с натуральной

величиной отрезка A'B' определяется угол наклона прямой АВ к плоско-

1 1

сти π2.

95

6.2.4. Преобразование плоскости. Если плоскость задана следами, то преобразование ее из общего положения в проецирующее производится одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости π1 или к плоскости π2.

Если при этом ось вращения условиями задачи не задана, то ее целесообразно расположить в какой-либо плоскости проекций, построения в этом случае упрощаются.

На рис. 104 показано преобразование плоскости Р из общего положения во фронтально-проецирующее Р1π2. Для этого ось i расположена в плоскости π2, на ее пересечении со следом Р2 образуется "неподвижная" точка О2, через которую после преобразования должен пройти новый

фронтальный след плоскости P2' .

Рис. 104.

Вращение плоскости производится так: из точки О1 перпендикуляром О1М1 на след Р1. Затем этот перпендикуляр поворачивается в положе-

ние O1M1' , при котором след Р1 становится перпендикулярным к оси X. Из

плоскости в горизонтально-проецирующее положение.

Если плоскость задана не следами, а, например, плоской фигурой, то ее преобразование вращением может быть одним или двумя последовательными поворотами. В первом случае она преобразуется в проецирующее положение, во втором - в положение, параллельное какой-либо плоскости проекций.

На рис. 105 показано преобразование плоскости АВС сперва во фронтально-проецирующее положение, а при втором повороте - в положение, параллельное плоскости π1.

96

Рис. 105.

Ось вращения проведена через одну из вершин треугольника - точку С1, С2 (на чертеже ось вращения можно не изображать).

В плоскости треугольника проведена горизонталь С1D1, С2D2. Поворотом вокруг оси проекция треугольника А1В1С1 переведена в положе-

ние A1'B1'C1' , при котором горизонталь C1D1 становится, перпендикулярной

к оси Х (напомним, что у фронтально-проецирующих плоскостей горизонтальный след, а следовательно, и все горизонтали, перпендикулярны к оси X). При этом необходимо, чтобы перемещаемая проекция треугольника не изменилась ни по форме, ни по величине, тогда фронтальные проекции то-

чек переместятся параллельно оси X в положение A'2B'2C'2 и окажутся на

одной прямой. Это означает, что плоскость стала фронтальнопроецирующей.

Если ту же заданную плоскость требуется преобразовать в положение, параллельное плоскости π1, то делается второй поворот вокруг оси iπ2 (на рис. 105 эта ось проведена через точку В1, В2). Для этого промежу-

точную проекцию треугольника в виде прямой A'2B'2C'2 поворачивают в положение A"2B"2C"2 , параллельное оси X, и на горизонтальной проекции

получается треугольник A"B"C" в натуральную величину.

1 1 1

97

6.3.Способ плоскопараллельного перемещения

6.3.1.Предыдущий способ обладает тем недостатком, что не всегда позволяет избежать накладки изображений друг на друга, что затрудняет построение и чтение чертежа. Поэтому способ вращения применяют без указания оси вращения. При этом геометрическая фигура, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, одновременно перемещается в новое положение таким образом, что все ее точки движутся параллельно этой плоскости проекций. Такое перемещение называется плоскопараллельным.

На чертеже сам процесс вращения вокруг некоторой оси не показывается, а изображается только результат перемещения геометрической фигуры в новое положение, необходимое для решения задачи.

6.3.2.Преобразование прямой.

Преобразование прямой из общего положения в частное, параллельное плоскости проекций, способом плоскопараллельного перемещения производится следующим образом:

1) отрезок АВ поворачивается вокруг некоторой оси iπ1 (рис. 106, а) до положения, параллельного плоскости π2, и вместе с осью перемещается на новое место (ось на чертеже не указывается).

При этом горизонтальная проекция А1В1 не изменяет своей величины и располагается параллельно оси Х - A1'B1' ║ОХ, а фронтальная проекция перемещается вместе с горизонтальной до положения A'2B'2 , не теряя с

ней проекционной связи и своей высоты над плоскостью π1. В результате такого плоскопараллельного перемещения заданная прямая стала фронтальной, показала свою натуральную величину и угол наклона к плоскости

π1.

98

2) отрезок поворачивается вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости π2 (рис. 106, б), и одновременно перемечается на новое место. В этом, случае фронтальная проекция отрезка, не изменяя своей вели-

чины, становится в положение A'2B'2 , параллельное оси X, а новая гори-

зонтальная проекция A'B' показывает натуральную величину отрезка и

1 1

угол его наклона к плоскости π2.

Преобразование прямой в положение, перпендикулярное к какойлибо плоскости проекций способом плоскопараллельного перемещения производится в два приема: сперва отрезок АВ переводится в положение А'В', параллельное какой-либо одной из плоскостей проекций, а затем отрезок А'В' переводится в положение А"В", перпендикулярное другой плоскости проекций. Порядок первого перемещения нам уже известен (см. выше), а при втором перемещении проекция отрезка, показывающая его натуральную величину, переводится в положение, перпендикулярное оси X, другая проекция при этом превращается в точку.

На рис. 107 показано преобразование отрезка АВ в горизонтальнопроецирующее положение.

Рис. 107.

6.3.3. Преобразование плоскости.

Преобразование плоскости из общего положения в частное, перпендикулярное плоскости проекций, производится однократным плоскопараллельным перемещением, а в положение, параллельное плоскости проекций - двукратным перемещением (рис. 108).

На первой стадии в плоскости треугольника проводится горизонталь BE и проекция треугольника ABC, не изменяя своей формы и величи-

ны, перемещается в положение А'В'С', при котором горизонталь B'E' ста-

1 1

новится перпендикулярной к оси X. При этом фронтальные проекции всех точек перемещаются в новое положение A'2B'2C'2 , и треугольник преобразуется в прямую линию, означающую, что плоскость ABC стала перпендикулярной к плоскости π2.

Для решения целого ряда задач этого преобразования бывает достаточно, но если поставлено условие преобразовать заданную плоскость в плоскость уровня, то преобразование продолжается.

Во второй стадии только что полученный результат - прямая A'2B'2C'2 переводится в новое положение A"2B"2C"2 , параллельное оси X.

При этом горизонтальная проекция A'B'C' перемещается параллельно оси

1 1 1

X в положение A1"B1"C1" , которое и представляет собой изображение задан-

ной плоскости ABC, параллельное плоскости π1.

При необходимости преобразования заданной плоскости в положение, параллельное плоскости π2, все построения протекают аналогично, с той лишь разницей, что в самом начале вместо горизонтали проводится в заданной плоскости фронталь.

100

6.4. Способ прямоугольного треугольника

Преобразование прямой в положение, параллельное плоскости проекций, может быть выполнено различными уже известными способами, но проще всего оно осуществляется способом прямоугольного треугольника, Сущность этого способа состоит в следующем. Для преобразования прямой из общего положения в частное, параллельное плоскости проекций, достаточно построить прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а другим катетом - превышение между конечными точками отрезка относительно этой плоскости. Гипотенуза этого треугольника является проекцией

преобразованной прямой, ее натуральной величиной.

Всамом деле, если провести через один из концов отрезка (рис.

109)прямую, параллельную плоскости π1, то получится прямоугольный треугольник ABC, у которого катет АС равен горизонтальной проекции отрезка A1В1, а катет ВС - превышению между точками А и В относитель-

но плоскости π1. Достаточно этот треугольник повернуть вокруг катета АС в горизонтальное положение ACВ', чтобы получить без искажения его

проекцию A C B' в виде прямоугольного треугольника, гипотенуза кото-

1 1 1

рого является проекцией преобразованного отрезка, равной ему по величине.

1

1

1

1

Рис. 109.

Ввиду своей простоты, способ прямоугольного треугольника широко применяется для определения натуральной величины отрезков прямых,