Зан.7, 8. Логика
.docТЕМА: Использование логических законов при работе с информацией
Высказыванием наз. повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.
Обозначение:[A]=1 – читается: «высказывание А- истинно», [B]=0 – « высказывание В – ложно».
Предикатом Р(х) наз. предложение с переменной, которое после замены переменных определёнными их значениями обращается в высказывание.
Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.
Обозначим ¬А. или Ā. Читается как "НЕ А", или "НЕВЕРНО, ЧТО А"
Конъюнкцией двух высказываний А и В наз. высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А,В Обозначим: . Часто встречается обозначение A & B. Знак & - амперсент - читается как английское "and" (например, Procter & Gamble?). Иногда, для краткости, пишут просто АВ. Будем читать: А и В Дизъюнкцией двух высказываний А и В наз. такое новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба А и В ложны. Обозначим : и будем читать: А или В.
Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда первое истинно ,а второе ложно.
Обозначим импликацию символом => и запись "А => В" будем читать: "Из А следует В", «Если А, то В».
Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.
Обозначим <=> или ≡ и запись "А <=> В" будем читать "А эквивалентно В", или "А равносильно В", или "А, если и только если В".
Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. отрицание; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация и эквивалентность.
А |
В |
|||||
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Квантор всеобщности соответствует термину «всякий» и обозначается (перевёрнутая буква А, от латинского All - все).
Квантор существования соответствует термину «существует» и обозначается (перевёрнутая буква Е, от латинского Exist - существует).
Читается хєХ Р(х) - «любое х из множества Х обладает свойством Р», хєХ Р(х) - «существует х из множества Х, который обладает свойством Р». Законы отрицания.
-
Какие из выражений являются высказываниями? Для высказываний определите их значения истинности.
-
«Да здравствует солнце, да скроется тьма»
-
«В романе Толстого «Война и мир» 14563970 слов»
-
«cos2x + sin2x=1»
-
«натуральное число х больше 8»
-
«Число 3 удовлетворяет неравенству3х+5≤0»
-
«Солнце вращается вокруг Земли»
-
Постройте таблицу истинности для сложного высказывания:
-
Запишите логические формулы следующих высказываний:
-
Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива
-
Если ни в Варшаву мы не поедим, ни в горы не отправимся, то будем ходить на пляж, или, если будет дождь, то будем читать дома книги
-
Если «Спартак» и «Динамо» проиграют, а «Торпедо» выиграет, то «Локомотив» потеряет 1 место, а на 3 место выйдет «Зенит»
-
Пусть Р означает «сегодня идёт дождь», Q – «сегодня ясно», S – «вчера было пасмурно», R – «сегодня идёт снег». Расшифруйте:
-
Докажите равносильность формул
-
Упростите выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний: а) , б), в), г).
-
Сформулируйте отрицания следующих высказываний в утвердительной форме:
-
Если летом будет дождливая погода, то ни накупаться, ни загореть нам не удастся.
-
Если урок будет интересным, то никто из учеников (Миша, Вика, Света) не будет смотреть в окно.
-
Если я поздно приду на остановку и не смогу сесть в автобус, то опоздаю на занятия и пропущу интересную лекцию
-
Если завтра будет воскресенье или в институте не будет занятий, то ко мне придут друзья и мы послушаем музыку.
-
После обеда я отправлюсь на прогулку в парк или, если ко мне зайдёт приятель, буду играть с ним в шахматы или мы посмотрим кино.
-
Родители сказали детям: «Если мы поедем летом в дом отдыха, то вы поедете в лагерь». Петя решил: «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха». Галя сказала: «Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь». Коля поправил: «Если мы не поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха». Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?
-
Определить участника преступления, исходя из двух посылок: 1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал"; 2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".
-
Верно, что, если изучал логику первый студент, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, изучал и третий. Кто изучал логику?
-
Запишите следующие высказывания с использованием кванторов
-
Некоторые реки впадают в Каспийское море.
-
Все люди знают, что Земля круглая.
-
По крайней мере, одно целое число делится на 8.
-
Кто хочет, тот добьется.
-
Не все птицы умеют летать.
-
Ни одна собака не умеет мяукать.
-
Либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех, и кто-то не любит никого.
-
Среди следующих предложений найдите пары высказываний, являющихся отрицанием друг друга
-
Все ученики нашего класса решили задачу.
-
Некоторые ученики нашего класса решили задачу.
-
Ни один ученик нашего класса не решил задачу.
-
Некоторые ученики нашего класса не решили задач
-
Сформулируйте отрицания следующих высказываний
-
Весь наш класс присутствовал на творческом вечере.
-
Некоторым школьникам по 10 лет.
-
В некотором поезде, идущем из Саратова в Воронеж, в каждом вагоне есть свободное место.
-
В каждом городе есть район, в каждой школе которого найдётся класс, ни один ученик которого не занимается спортом.
-
Найдётся книга, содержащая страницу, в каждой строке которой встречается хотя бы одна буква «А».
-
Определите, кто из четырёх студентов сдал экзамен, если выполнены следующие условия:
-
Если первый сдал, то и второй сдал;
-
Если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;
-
Если четвёртый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;
-
Если четвёртый сдал, то и первый сдал
Определите истинность следующих высказываний.
-
Все математики – музыканты, значит, некоторые музыканты – математики
-
Если к телу, движущемуся равномерно и прямолинейно, не подводится сила, оно движется без ускорения; тело движется без ускорения, значит, к нему не подводится сила.
-
Аргон, гелий, неон не горючи. Все они – инертные газы. Следовательно, инертные газы не горючи.
-
Все дифференцируемые функции непрерывны, следовательно, некоторые непрерывные функции дифференцируемые.
-
Некоторые люди умеют писать. Некоторые люди умеют читать. Значит, некоторые люди умеют и писать, и читать.
-
Глина – это жидкость или газ. Но глина – не газ, значит, глина – жидкость.
-
Комедия, по определению Аристотеля, «есть подражание людям худшим, хотя и не во всей их подлости». Многие подражают худшим людям, хотя и не идут в этом до конца. Значит, многие разыгрывают комедию.
-
Все растения дышат. Микробы не дышат. Значит, микробы - не растения.
-
Если у человек повышена температура, то он болен. У этого человека температура не повышена. Следовательно, он не болен.
-
Вид завязи у цветкового растения просто определяется путем отрывания венчика. Легко оторвавшийся венчик означает наличие верхней завязи. Завязь не верхняя, значит, венчик отрывается с усилием.
-
Наличие кислых почв можно определить видом растительности, произрастающей на ней. Сфагнум произрастает на кислых почвах. Почва не кислая, значит, сфагнум на ней не растет.
-
Неправда, что наша тумельница большая и круглая. Выберите верное высказывание:
-
Наша тумельница маленькая и некруглая;
-
Наша тумельница маленькая, или некруглая, или то и другое вместе;
-
Наша тумельница маленькая, или некруглая, но не то и другое вместе.
Андрей, Ваня и Саша собрались в поход. Учитель, хорошо знавший ребят, высказал следующие предположения:
-
Андрей пойдет в поход только тогда, когда пойдут Ваня и Саша.
-
Андрей и Саша друзья, значит, они пойдут вместе или оба останутся дома,
-
Чтобы Саша пошел в поход необходимо, чтобы пошел Ваня.
Когда пошли в поход, оказалось, что из трех утверждений истинны только 2 предположения. Кто из ребят не пошел в поход?