зан.4. теория множеств

Множество – основное, неопределяемое понятие.

! Чтобы определить какое-либо понятие нужно указать частным случаем какого более общего понятия оно является. Пример. Биссектриса- луч, …….Для понятия множества это сделать невозможно!

Примеры множеств: - гербарий, сервиз, коллекция и др. Изображение. Круги Эйлера(диаграммы Венна)

Обозначения. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, C, и т.д.

• Элементы множеств обозначают маленькими латинскими буквами: а,в,с и т.д.

• Тот факт, что объект a является элементом множества A, записывают aA,

• а то, что объект b не является элементом множества A записывают bA.

• Элементы, составляющие произвольное множество, записывают в фигурных скобках А={а;в;с} через точку с запятой.(!!! Не важно сколько раз элемент входит в множество - его записывают один раз)

Виды множеств

• Конечные и бесконечные мн-ва.

Конечные множества могут состоять из разного числа элементов – {1},{a;b;c;d;t} (!!! Множество – не изобилие)

Пустые множества -множества, в которых нет ни одного элемента. Обозначение  Примеры. множество акул в Байкале

Бесконечные множества – множества, в которых бесконечно много элементов.

Пример: N–множество натуральных чисел {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;…}, Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел, [1;5]-отрезок, (3;7)-интервал

• Дискретные(разрывные)и непрерывные множества

• Упорядоченные и неупорядоченные множества. Запись (1;2)- упорядочное и {1;2}- неупорядочное

Способы задания множеств

• Конечное (и только) множество можно задать перечислением его элементов. Пример: А = {1;2;3}.

! Конечное множество книг на планете только теоретически можно задать перечислением.

• Бесконечное и конечное множество можно задать указанием его характеристического свойства

Пример: A = {x  х  N ,x4}, т .е. A = {1;2;3}- конечное, A = {x  x4} , т.е. A = (-; 4) - бесконечное.

состоит из элементов таких, что

Характеристическое свойство – свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они Пример. А – множество студентов, живущих в общежитии. Назовите характеристическое свойство .

Отношения между элементами и множествами.

Между элементом и множеством - отношение принадлежности Пример. А = {1;3; 9}. 3 A, 10 A

М

В

ежду двумя множествами- отношение включения (или одно множество является подмножеством другого). Изображение В А

Пример. Пусть А={л;д;ж}. Тогда л  А – неверно, {л} A – неверно; л  А - верно

Говорят, что множество В является подмножеством множества А, и пишут ВА, если всякий элемент множества В является элементом множества А. Пример. А={a;s;d;f}, B={a;f} . (a A, fA) → ВА !!! Пустое множество является подмножеством любого множества : А. Любое множество является подмножеством самого себя: АА. У любого множества есть, по крайней мере, 2 подмножества – пустое и оно само – они называются несобственными подмножествами. А, АА. Множество U наз. универсальным для всех своих подмножеств.

Операции с (над) множествами

1

А В

А

В

) Пересечением множеств A и B называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам A и B.(общие элементы)

Обозначение. AB AB={x  xA и xB}.

Пример. Если A={1; 2; 3}, B={1; 3; 4}, то AB={1; 3} - -общие элементы.

П

п

д

ример. А. Конан-Дойль «5 апельсиновых зёрнышек»

Ш

л

ерлок Холмс искал судно. В январе 1883г. оно было в Пондишере.

В январе 1885г. – в Данди. Сейчас – в Лондонском порту.

Оказалось только одно судно входило во все 3 множества кораблей,

– американский корабль «Одинокая звезда»!

2

А

В

) Объединением множеств A и B называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B

Обозначение. AB AB={x xA или xB}.

Пример 1. Если A={1; 2; 3}, B={1; 3; 4}, то AB={1; 2; 3; 4}.

! Повторяющиеся элементы записываем один раз!

3

А

)Разностью множеств A и B называется множество, которое состоит из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B

Обозначение. A\B A\B={x  xA и xB}.

Пример. Если A={1; 2; 3}, B={1; 3; 4}, то A\B={2}.

Задача

В

Б₂₃

7

8

2

6

10

1

4

группе 40 студентов. Из них 23 любят болтать на занятиях, 13 — решать задачи, 11 любят на занятиях спать. Среди тех, кто болтает на занятиях, постоянно засыпают — 7, а среди тех, кто решает задачи, засыпают только 3. Болтать и решать задачи умеют 8 человек; а 2 человека успевают на одной паре делать все три дела. Сколько студентов вообще ничего не любят?

Р

5

ешение. 1) 7-2=5- только болтают и засыпают

2) 8-2=6- только болтают и решают

3

3) 23-6-2-5=10-только болтают

3

…….

.) 40-(10+6+4+5+2+1+3)=9 -ничего не делают

1. Какие из высказываний являются верными?

• Число 2 принадлежит множеству (2; 10].

• Число -0,25 не принадлежит множеству [-0,5; 0].

• Число 9 принадлежит множеству N.

• Число 1/5 принадлежит множеству Z.

2. З

   Х

   n

   h

   o

   

   Y

   апишите множества:

• X

  с

  È Y

• Y

  q

  p

  È V

• X

  V

  z

  Ç Y

• V Ç Y

• X È Y È V

• X ÇY Ç V

.

3. Найдите:

   [8 ; 15] Ç [9 ; 20]	(-1 ;1] Ç [-1;0)	[-1 ; 1] Ç [-1; 0]
   [-1 ; 0 ) È [0 ; 4]	[1 ; + ¥) È [0 ; + ¥)	(0 ; 2) È [0 ; 2]
   {-1;0;3} Ç [-1;0)	{-1;0;3} È [0 ; 2]	{-1;6;9;11;21 } Ç [9 ; 20]

4. Задайте перечислением следующие множества А={x|-5<x<6;xN}, B = {x| -3<x<2, xZ}/

5. В классе 30 учеников. Каждый из них занимается либо футболом, либо хоккеем, а 5 учеников – и хоккеем и футболом. Сколько учеников занимается футболом, если хоккеем занимается половина учеников класса?

6. Каждый ученик в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 человек, французский –

27 человек, а тот и другой – 18 человек. Сколько учеников в классе?

7. Даны три множества М = {12; 20; 35}, N = {12; 20; 48; 60; 90}, K = {48; 60; 90}. Запишите:

а) пересечение множеств M и N; б) разность множеств M и K; в) пересечение N и K; г) объединение множеств M и N; д) объединение множеств M и K; е) разность множеств N и K;

8. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элемент каждого множества не обладающий характеристическим свойством.

1. Е = {жираф, аист, корова, барсук, собака}

2. A = {2,6,15,84,156}

3. B = {2,7,13,16,29}

4. C = {1,9,25,67,121}

5. K = {2,12,36,80,150}

6. D = {треугольник, квадрат, трапеция, круг}

9. На диаграмме изображены множества А, В, С. Укажите на диаграмме следующие множества:

1. А È ( В Ç С ) b. А Ç ( В È С ) c. ( А \ В ) È ( В \ А ) d. ( А È В ) \ ( В Ç А )

10. Все участники поездки владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. 6 из них знают английский язык; 7 – немецкий; 6 – французский; 4 – английский и немецкий; 3 – немецкий и французский; 2 – французским и английским;1 – французским, английским и немецким. Сколько человек принимали участие в поездке?

11. На загородную прогулку поехали 92человека. Бутерброды с колбасой взяли 48 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, с сыром и с колбасой – 28 человек, с колбасой и с ветчиной – 31 человек, а с сыром и с ветчиной – 26 человек. 25 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

12. Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих кружков. Сколько учеников посещают математический и физический кружки? Сколько учащихся посещают только математический кружок?

13. Каждый ученик класса либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика-блондина, математику из них любят12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

14. На крышах живут 44 Карлсона. 27 из них любят клубничное варенье, 25 – вишнёвое, 25 – абрикосовое, 15 - и вишнёвое, и клубничное; 12 – и клубничное, и абрикосовое. 3 Карлсона любят все 3 вида варенья. Сколько Карлсонов любят только абрикосовое и вишнёвое варенье?

15. В кровавой битве из 100 пиратов не менее 70 потеряли 1 глаз, не менее 75 – 1 ухо, не менее 80 -1 руку, не менее 85 – 1 ногу. Каково наименьшее число пиратов, потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?

16. В одном курортном городке, где проводят свои отпуска много отдыхающих, 28 % взрослых читают «Монд», 25% - «Фигаро», 20% - «Орор». Кроме того, 11% отдыхающих читают как «Монд», так и «Фигаро», 3% - «Монд» и «Орор», 2% - «Фигаро» и «Орор», тогда как 42% отдыхающих не читают ни одной из этих газет. Чему равен процент отдыхающих, которые читают одновременно «Монд», «Фигаро» и «Орор»?

17. Изобразите при помощи кругов Эйлера соотношение понятий:

• вид транспорта, машина, тройка лошадей, подводная лодка, стиральная машина;

• молния, явление природы, стихийное бедствие, пожар;

• пользователь Интернета, студент, пользователь Интернета с целью обучения;

• причина пожара , пожар, поджог, молния, взрыв атомной бомбы;

• цифровая техника, нецифровая техника, цифровая камера, холодильник «ЗИЛ», пишущая машинка «Ундервуд»;

• мышь, оптическая компьютерная мышь, устройство ввода – вывода информации, оптико–механическая мышь.

При изучении групп крови обследовалось 10 000 человек. У 5 500 из них был обнаружен агглютиноген А, у 2 500 – агглютиноген В, у 3 000 этих агглютиногенов не обнаружилось. Пусть А, В и О как 3 соответствующие множества людей.

• Нарисуйте диаграмму Венна к данной задачи;

• Опишите словами множества АВ, АВ, АО;

• Сколько людей имеют 2 агглютиногена: А и В ?

Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8,английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают не одного из трех языков?