Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Петербургский Государственный Университет Путей Сообщения Императора Александра I»

Кафедра «Математика и моделирование»

Контрольная работа по дисциплине

«Теория игр»

Выполнил: Студент

учебной группы

14 ЭБС – 230 Евдокимова. Н.Н.

Проверил:

Руководитель

Санкт – Петербург

2016 Вариант контрольной работы №10. Задача № 1

Возможно строительство четырех типов электростанций: (тепловых),(приплотинных),(бесшлюзовых),(шлюзовых). Эффективность каждого типа зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и т.п. Предположим, что выделено четыре различных состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Состояние природы обозначим, ,,. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей.

A =

Задачи, которые необходимо выполнить:

Дать рекомендации ЛПР согласно критериям:

1. критерий Лапласа;

2. максиминный критерий Вальда;

3. критерий Гурвица ();

4. критерий Сэвиджа);

Решение:

1. Критерий Лапласа:

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий игроков, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с «природой». Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Критерий Лапласа основан на гипотезе равные вероятности и здесь предполагают, что все состояния природы равновероятны: .

При принятии данной гипотезы в качестве оценки стратегии надо брать соответствующий её средний выигрыш, то есть:

F_i =

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

F₁ =(1 + 4 +3 +2)/4 = 2,5;

F₂ = (1 + 1 + 1 + 4)/4 = 1,75;

F₃ = (4 + 4 + 1 + 2)/4 = 2,75;

F₄ = (2 + 2 + 2 +4)/4 = 2,5;

Видно, что функция полезности максимальна для альтернативы А₃, следовательно выбираем стратегию A₃, т.е. строительство бесшлюзовых электростанций.

2. Максиминный критерий Вальда:

Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности α₁ (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный.

Оптимальная по данному критерию стратегия находится из условия, то есть.

α₁ = 1; α₂ = 1; α₃ = 1; α₄ = 2;

Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А₄ , для нее наибольшее α₄ = 2.

Вывод: выбираем стратегию A₄ - строительство шлюзовых электростанций.

3. Критерий Гурвица (α = 1/2);

Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» игрока . Введем некоторый коэффициент α, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для игрока исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-). Коэффициент доверия α показывает, насколько игрок может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для игрока равны, то α=0,5.

Для реализации критерия определяются наилучшие a_i⁺ и наихудшие a_i⁻ значение каждой альтернативе по формулам , ., . Далее, вычисляются функции полезности по формуле:

F_i = a_i⁺*α + a_i⁻*(1 – α)

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

F₁ = 4*0,5 + 1*(1-0,5) = 2,5;

F₂ = 4*0,5 + 1*(1-0,5) = 2,5;

F₃ = 4*0,5 + 1*(1-0,5) = 2,5;

F₄ = 4*0,5 + 2*(1-0,5) = 3;

В соответствии с расчетами игроку следует выбрать стратегию А₄, строительство шлюзовых электростанций. Так как функция полезности максимальна.

4. Критерий Сэвиджа)

Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

R = ;

Элементы матрицы рисков находятся по формуле: r_ij = max a_ij - a_ij;

Оптимальная стратегия определяется выражением: min_i(max_j r_ij);

R =

Согласно критерию Сэвиджа определяем:

min_i(max_j r_ij) = min_i (3, 3, 2, 3) = 2

В соответствии с этим критерием выбираем стратегию A₃ и предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.

Ответ:

В результате решения матричной игры, по различным критериям производилось исследование матричной игры. И в результате рекомендуется для выполнения стратегия A₃ или A₄.