Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Петербургский Государственный Университет Путей Сообщения Императора Александра I»
Кафедра «Математика и моделирование»
Контрольная работа по дисциплине
«Методы оптимальных решений»
Выполнил: Студент
учебной группы
14 ЭБС – 230 Евдокимова. Н.Н.
Проверил:
Руководитель
Санкт – Петербург
2016
Вариант контрольной работы №10.
Задание 1.
Для функции двух переменных , заданной следующим выражением:
Задачи, поставленные в задании:
Найти стационарную точку и вычислить в ней значение функции;
Найти экстремальные точки и экстремальные значения;
Найти области выпуклости (вогнутости) функции.
Решение:
Для нахождения стационарной точки найдем частные производные, прировняем их к 0, вычислим систему уравнений, так найдем координаты стационарной точки.
= 7*2x1+2x2+1; = 2x1+5*2x2 – 10;
;;
;;
Точка M с координатами (-15/68; 71/68) - стационарная точка.
Значение функции двух переменных в точкеM вычислено при помощи Microsoft Excel.
Z (-15/68 ; 71/68) = −10 ;
Чтобы найти экстремальные точки и экстремальные значения найдем частные производные второго порядка.
Обозначим:.
A = =14;;= 10
и через ∆ = AC – B2 = 14*10 −22 = 136; ∆ ˃ 0;
Так как ∆ ˃ 0, и A ˃ 0 то по достаточному условию экстремума функция Z имеет в точке М (-15/68 ; 71/68) минимум, причем значение функции Z = −10;
Так как функция Z дважды дифференцируема и Z’’(x1;x2) ˃ 0,
то функция Z – выпуклая.
Ответ:
Точка M с координатами (-15/68; 71/68) - стационарная точка.
Значение функции в точке M равно = −10
Функция Z имеет в точке М (-15/68 ; 71/68) минимум.
Функция Z – выпуклая.
Задание 2.
Функция трех переменных задана следующим выражением.
Задачи, поставленные в задании:
a. Найти стационарную точку функции и вычислить в ней ее значение;
b. Найти экстремальные точки и экстремальные значения функции;
c. Найти области выпуклости (вогнутости) функции.
Решение:
Найдем частные производные.
= 6x1 + 2x2 – x3 + 4; = 4x2 + 2x1 + 5x3 – 1; = 10x3 – x1 + 5x2;
Составим и решим систему уравнений для нахождения стационарных точек.
Решив систему уравнений при помощи Microsoft Excel, с помощью обратной матрицы, найдены корни уравнений.
x1 = -3,27; x2 = 6,12; x3 = -3,38
Найдена одна стационарная точка M (-3,27; 6,12; -3,38)
Значение функции U в точке M равно, U = 135,37
Чтобы найти экстремальные точки и экстремальные значения найдем частные производные второго порядка.
= 6; =2; = -1;
= 2; = 4; = 5;
= -1; = 5; 10;
Составим матрицу Гессе:
H =
Продолжение решения через анализ угловых миноров матрицы Гессе.
Достаточные условия экстремума. Если в некоторой точке выполнены необходимые условия
экстремума и все частные производные 2-го порядка непрерывны, то существование экстремума в этой точке
определяется значениями угловых миноров матрицы вторых производных (матрицы Гессе):
M1 ˃ 0 , M2 ˃ 0 - локальный минимум;
M1 ˂ 0 , M2 ˃ 0 - локальный максимум;
M2 ˂ 0 - экстремума нет.
Так как угловые миноры : M1 = 15; M2 = 10, следовательно на основании достаточного условия экстремума, функция
в точке M (-3,27; 6,12; -3,38) имеет локальный минимум.
Достаточным условием выпуклости функции f (x1, x2, …, xn) является положительная определенность матрицы.
Составим главные определители матрицы Гессе.
∆1 = 15; ∆2 = 10; ∆3 = 59;
Так как все определители ˃ 0, то матрица H положительно определена и функция выпуклая.
Ответ:
Найдена одна стационарная точка M (-3,27; 6,12; -3,38)
Значение функции
в точке M равно, U = 135,37
В точке M (-3,27; 6,12; -3,38) имеет локальный минимум.
По критерию Сильвестра, матрица H положительно определена и функция
выпуклая.