Высшая геодезия

11

В этой формуле квадраты невязок треугольников умножаются на р= , а квадраты свободных членов полюсных условий на р= ; k —

число свободных членов условных уравнений фигур и полюсных, вместе взятых; ∑ctg2 — сумма квадратов коэффициентов соответствующего полюсного условного уравнения. В рассматриваемой сети = 7 (в ней 5 условий фигур и 2 полюсных). С учетом данных, приведенных в табл. 38, 39 и 40, получим

Полюсные условия. В нашей сети возникает два полюсных условия: в геодезическом четырехугольнике с вершинами ABDE и центральной системе CABE (рис. 37 и 38). В геодезическом четырехугольнике за полюс принимают либо вершину с наиболее тупым углом, либо точку пересечения диагоналей. В этом случае коэффициенты полюсного условного уравнения будут иметь наибольшие по величине значения, благодаря чему неизвестные поправки направлений определятся с большей точностью, чем при выборе полюса в другой точке.

Обозначив через и связующие углы соответственно числителя и знаменателя дроби полюсного условия, а через П1 и П2 — соответственно произведения синусов измеренных значений этих углов, напишем полюсное условное уравнение в линейном виде

В случае уравнивания направлений поправки р в углы надо выразить через разности поправок соответствующих направлений: поправка правого направления минус поправка левого направления.

За порядком составления полюсных условных уравнений, вычислением их коэффициентов и свободных членов можно проследить по приведенным ниже схемам и таблицам.

Составление полюсного условия геодезического четырехугольника

а) Схематический чертеж фигуры (рис. 4). б) Название полюса: пункт A.

в) Полюсное условие, выраженное через отношения сторон

=1

и синусы противолежащих углов

=1.

12

Контроль. Сумма коэффициентов при поправках должна быть равна нулю.

д) Линейный вид условия:

или с учетом δ = ctgβ:

0,584 (5) – 1,107 (6) + 0,523 (8) + 0,701 (9) – 1,101 (10) + 0,400 (12) + + 0,739 (13) –0,572 (14)+ 0,167 (15) – 0,91" = 0.

Составление полюсного условия центральной системы

а) Схематический чертеж фигуры (рис. 5). б) Название полюса: пункт C.

13

Рис. 5

в) Полюсное условие, выраженное через отношения сторон

=1

и синусы противолежащих углов

д) Линейный вид условия:

или с учетом δ = ctgβ:

1,823 (1) – [1,823+2,313] (2) + 2,313 (3) – 0,995 (5) – [0,995+3,849] (6) + 3,849 (7) + 4,080 (10) –[4,080+0,716] (11)+ 0,716 (12) – 8,13" = 0.

Составление весовой функции

Пусть в уравненной сети требуется определить среднюю квадратическую ошибку длины наиболее удаленной стороны . Для этого надо вычислить обратный вес этой стороны. С этой целью длину стороны представим как функцию уравненных направлений, идя от исходной стороны

по кратчайшему пути через два треугольника ABD и BED:

14

Для вычисления обратного веса этой функции найдем ее приращение F= s. Взяв частные производные от F по каждому измеренному

направлению и перейдя к конечным приращениям, получим

(7)

.

где = ν ctg(k-i)= ν

В целях удобства вычислений длины сторон SAB и SDE в формуле (8) выражают в дециметрах.

Порядок вычисления коэффициентов весовой функции можно проследить по табл.6 .

С учетом данных, приведенных в табл. 6, весовая функция, примет окончательный вид

.

Коэффициенты при поправках направлений весовой функции fs записывают в столбец табл. 6 условных уравнений.

15

Таблица 7

Таблица коэффициентов условных уравнений

Составление и решение нормальных уравнений коррелат. Вычисление поправок направлений

Нормальные уравнения решают, как правило, по схеме Гаусса или по способу итераций.

Таблица 8

Таблица коэффициентов нормальных уравнений

нормальных уравнений построчно образуют суммы S' коэффициентов при одноименных поправках условных уравнений и весовой функции (см. табл. 7). Затем по известным правилам (умножая столбец на столбец в табл. 7 и суммируя результаты) вычисляют коэффициенты нормальных уравнений и записывают их в табл. 8, затем для каждого нормального уравнения находят сумму 5 его коэффициентов и свободного члена . В последнем столбце этой

16

таблицы в целях контроля вычисляют для каждого нормального уравнения контрольные суммы используя значения и , приведенные в табл. 7 коэффициентов условных уравнений. Расхождение между S° и S (в последнем и предпоследнем столбцах табл. 8) допускаются только за счет ошибок округления.

Нормальные уравнения коррелат решены по сокращенной схеме Гаусса (табл. 9). Контрольные вычисления в этой таблице выполнены для коэффициентов преобразованных нормальных уравнений и для коэффициентов соответствующих им эллиминационных строк. Первый контроль представлен в виде следующих равенств:

(9)

Второй контроль требует суммирования коэффициентов эллиминационных строк. Сумма коэффициентов в этих строках должна равняться величине, стоящей в столбце S данной строки. Таким образом, будем иметь

(10)

Перейдем к определению коррелат. Связанные с этим вычисления требуют использования эллиминационных строк и преобразованных нормальных уравнений коррелат; первые позволяют определить численные значения коррелат, а вторые служат для их контроля. Если ограничиться для простоты тремя уравнениями, то в результате будем иметь

(11)

Сначала вычисляют последнюю коррелату и, проконтролировав ее путем подстановки в последнее преобразованное уравнение, находят следующую, предпоследнюю коррелату. Подставив эту и последнюю

17

коррелату в предпоследнее преобразованное уравнение и убедившись в правильности этих двух коррелат, вычисляют следующую коррелату и т. д. Порядок вычисления коррелат по формулам (11) легко проследить по табл. 9; в нижнем левом ее углу дана табличка слагаемых, участвующих в вычислении коррелат в соответствии с указанными формулами.

Таблица 9

Решение нормальных уравнений коррелат

Вычислив коррелаты, находят поправки к измеренным направлениям по формуле

(12)

,

где — коэффициенты условных уравнений, — коррелаты. В нашей сети направления измерены равноточно, поэтому = 1.

Поправки направлений, вычисленные по формуле (12), приведены в табл. 7. Контроль составления и решения системы нормальных уравнений, соответствующих системе условных уравнений в табл. 7, выполняется по формуле [ ] = — . Если при составлении условных уравнений были допущены ошибки, то обнаружатся они только при

18

окончательном решении треугольников.

При уравнивании направлений на каждом пункте и в сети в целом должно соблюдаться равенство [ ]= 0, т. е. сумма произведений поправок направлений на их веса должна быть равна нулю.

Оценка точности уравненных элементов сети

Как отмечалось выше, для оценки точности того или иного элемента уравненной сети необходимо составить соответствующую ему функцию F и

уравненного элемента определится по формуле

(13)

,

где — средняя квадратическая ошибка единицы веса, определяемая из уравнивания сети,

вычислен в табл. 9 при решении нормальных уравнений обратный вес этой стороны, который оказался равным 1/PS = 0,072.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса равна

.

С учетом полученных значений ( = 0,60" и 1/PS = 0,072 найдем среднюю квадратическую ошибку длины уравненной стороны SDE:

=0,60 =0,060м.

Отметим, что полученная ошибка ms характеризует только лишь точность передачи длины от исходной стороны sAB к стороне sDE, причем без учета влияния ошибок исходных данных, которое надо учесть дополнительно.

Вопрос учета влияния ошибок исходных данных на точность определения уравненных элементов еще не отработан должным образом на практике, особенно в больших и сложных сетях многоступенчатого

19

построения. Поэтому в подавляющем числе случаев ограничиваются вычислением средних квадратических ошибок уравненных элементов по формуле (8.24), т. е. без учета влияния ошибок исходных данных, что в ряде случаев, когда последние ошибки сравнительно велики, приводит к некоторому завышению показателей точности оцениваемых элементов, что надо иметь в виду.

Окончательные вычисления в триангуляции

После исправления измеренных направлений поправками, полученными из уравнивания сети, выполняют окончательное решение треугольников (табл. 10). Сумма уравненных углов в каждом треугольнике должна быть равна 180°. Если поправки округлены до сотых долей секунды, то сумма уравненных углов в некоторых треугольниках может отличаться от 180° на 0,01". Обычно эту сотую долю секунды алгебраически прибавляют к углу, который наиболее близок к прямому.

20

Таблица 11

Вычисление окончательных координат

В том случае, когда сумма уравненных углов в каком-либо треугольнике существенно отличается от 180° (более 0,01"), необходимо еще раз внимательно проверить все вычисления по составлению и решению условия фигур данного треугольника; ошибки устраняются повторными вычислениями.

Соблюдение условий фигур во всех треугольниках сети еще не говорит о том, что уравнительные вычисления выполнены безошибочно. Тот факт, что в каждом треугольнике сумма уравненных углов оказалась равной точно