29.Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.
30.Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае наличия кратных корней у характеристического уравнения.
5.15Задачи по курсу «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения»
1.Исследовать сходимость рядов:
|
1 cos |
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
, |
|
ln 1 |
|
|
|
|
, |
1 |
|
|
|
1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
n |
2 |
|||||||||||||||
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Исследовать сходимость рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, exp |
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Используя интегральный и необходимый признаки, исследовать сходимость ряда
различных значениях p, исследовать сходимость ряда an с общим членом:
n 1
а) an |
|
2n n! |
,б) an |
|
3n n! |
,в) an |
en n! |
. |
||||
nn |
|
nn |
|
nn |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. При каких значениях x сходятся ряды:
|
x 1 |
2n |
3 |
n |
|
|
x |
3n |
||
а) |
|
|
,б) |
|
|
|
. |
|||
2n 1 |
|
8 |
n |
|
2 1 n |
|||||
n 1 |
|
n 1 |
n |
|
|
|||||
1 |
при |
||
|
|
||
n 1 n p |
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд an с общим членом: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||
а) an 1 n ln n2 5 ln n2 1 , б) an 1 n tg |
2 |
|
, в) |
an 1 n |
2n ! |
. |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
nn |
|||
6. |
Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: |
||||||||
а) |
y (x 1)(y 1) , б) (x 2) y y 3, в) (y 2 3)xdx (x2 2) ydy 0 , г) (1 x2 )dy xydx 0 . |
||||||||
7. |
Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка : |
||||||||
а) |
xy y 4x5 3x2 , б) xy 2y 2x4 x3 ,в) xy 2 y |
1 |
, г) y sin x y cos x 1. |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||
8. |
Проверить, является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах; |
||||||||
а) (x y)dy (x y)dx 0 ,б) (x y)dy (x y)dx 0 , |
|
|
|
|
|||||
9.в) (cos x 2y)dx (sin y 2x)dy 0,д) (cos x 2y)dx (sin y 2x)dy 0 .
10.Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах:
233
а) (3x2 2xy3 )dx (3x2 y 2 2y)dy 0 ,4. б) (2x y3 )dx (5y4 3xy2 )dy 0 ,
в) (sin x 2xy)dx (cos y x2 )dy 0 ,4. г) ( |
1 |
y 2 )dx (2xy sin y)dy 0. |
|
x |
|||
|
|
11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:
а) |
y 2xy, |
y(0) 2 , б) |
y ln y dx xdy 0 , y(1) 1, |
|
|||
в) |
y |
y |
|
x |
, y(1) 2 , |
г) (x y)dy (x y)dx 0 , |
y(1) 0. |
|
|
||||||
xy
12.Понизить порядок дифференциального уравнения:
а) xy |
|
y |
|
x 1 0 |
|
|
3y |
|
2x |
2 |
3 |
2 |
2yy |
|
. |
|
|
, б) y y |
|
|
|
, в) y y |
1, г) 1 ( y ) |
|
13. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка, используя методы понижения порядка:
а) xy |
|
y |
|
2x |
2 |
, б) |
y |
|
|
y |
3x , в) y |
|
2yy |
|
0, г) |
|
|
3( y |
|
2 |
0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
) |
|
x
14.Найти общее решение линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:
а) y 3y 2y x 1, б) |
y 4y 4 , в) |
y y 2x , г) |
y 3y 2ex . |
15.Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с по-
стоянными коэффициентами:
а) |
y |
|
4y |
|
3y 0 , |
|
|
|
|
y |
|
y |
|
0, |
|
|
||
|
|
y(0) 6, y (0) 10, б) |
|
|
y(0) 3, y (0) 1, y |
(0) 1, |
||||||||||||
в) |
y |
|
2y |
|
y 0, |
y(0) 0, y |
|
y |
|
2y |
|
y 0 |
|
|
||||
|
|
(0) 3, г) |
|
|
, y(0) 0, y (0) 1. |
|
||||||||||||
5.16 План семинаров по курсу «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения»
1 –е занятие. Числовые ряды. Признаки сравнения для знакопостоянных числовых рядов.
В аудитории. Д.2546, 2550, 2588,2574, 2609
Исследовать сходимость рядов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 cos n |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
, n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
, |
1 |
|
|
|
1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
n |
2 |
||||||||||
n n |
|
|
n |
n |
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На дом: Д.2547, 2549, 2556-2564, 2608-2610, 2613, 2614.
2 –е занятие. Знакопостоянные числовые ряды. Признаки: сравнения, интегральный, Даламбера,
Коши.
В аудитории.
1. Исследовать сходимость рядов:
|
|
|
sin n |
|
|
|
||||
|
|
|
, exp |
n . |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||
3n |
|
n 1 |
||||||||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
||||||
234
2. Используя интегральный и необходимый признаки, исследовать сходимость ряда
различных значениях p.
3. Исследовать сходимость ряда an с общим членом:
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
а) an |
|
2n n! |
, б) an |
|
3n n! |
, в) an |
en n! |
. |
||||
nn |
|
nn |
|
nn |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. При каких значениях x сходятся ряды:
|
x 1 |
2n |
3 |
n |
|
|
x |
3n |
||
а) |
|
|
, б) |
|
|
|
. |
|||
2n 1 |
|
8 |
n |
|
2 1 n |
|||||
n 1 |
|
n 1 |
n |
|
|
|||||
1 |
при |
||
|
|
||
n 1 n p |
|||
|
|||
На дом: Д.2578-2588, 2589(б), 2619, 2620, 2626, 2631, 2632
3 –е занятие. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов. Множества абсолютной и условной сходимости.
В аудитории.
1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд an с общим членом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||
а) an 1 n ln n2 |
5 ln n2 1 , б) |
an |
1 n tg |
2 |
|
, в) |
an |
1 n |
2n ! |
|
.2. Д. 2718. |
|
|
|
|
nn |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
На дом: Д.2664, 2665, 2669, 2670, 2684, 2721, 2728, 2722.
4 –е занятие. Степенные и функциональные ряды. Нахождение областей абсолютной и условной
сходимости.
В аудитории. М.2471,2475,2484,2489,Д.2812,2817,2840,2844
На дом: М.2470,2472,2483,2490.2491,Д.2814,2818,2841,2843
5 –е занятие. Разложение функций в степенные ряды.
В аудитории. М. 2503,2497(1,2,3)2508,2513,2545,Д.2794,2802,2803,2754
На дом: М.2504,2498,2507,2509,2512,2547,Д.2784,2800,2804,2809,2753
6-е занятие. Уравнения с разделяющимися переменными.
В аудитории: Б.3906,3913,3942,3939,3937.
На дом: Б.3902,3907,3914,3938,3941,3935.
7-е занятие. Однородные уравнения.
В аудитории: Ф. 105, 107, 101, 103, 111, 117, 115, 125, 127.
На дом: Ф. 102, 104, 110, 112, 114, 116, 118, 126, 128.
8-е занятие. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати.
В аудитории: Б.3956,3958,3967,4043.
На дом: Б.3955,3957,3965,4042.
235
9-е занятие. Уравнения в полных дифференциалах.
В аудитории: Ф. 187, 189, 191, 196, 198, 200, пример на интегрирующий множитель.
На дом: Ф. 188, 190, 192, 193, 195, 199, 201, 206
10-е занятие. Уравнения, не разрешенные относительно производной.
В аудитории: Ф. 252, 269, 278, 281, 287, 289.
На дом: Ф. 253, 270, 279, 282, 290, 292,293.
11-е занятие. Уравнения, допускающие понижение порядка.
В аудитории: Б.4162,4165,4177,4194.
На дом: Б.4160,4190,4172,4193 .
12-е занятие. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: одно-
родные и неоднородные (случай специальной правой части).
В аудитории: Б.4251,4257,4260,4304,4305,4307,4310.
На дом: Б.4252,4253,4258,4259,4301,4302,4303,4306.
13-е занятие. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици-
ентами (метод вариации постоянных). Задача Коши.
В аудитории: Б.4275,4271.
На дом: Б.4276,4278,4279.
14-е занятие. Определитель Вронского. Линейные однородные системы с постоянными коэффи-
циентами (случай простых вещественных корней)
В аудитории: Ф. 614, 615, 675,786, 788, 799.
На дом: Ф. 613, 616, 674, 787, 798, 800.
15-е занятие. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами (случай специ-
альной правой части и метод вариации постоянных)
В аудитории: Ф. 828, 826, 827,842, 846, 848.
На дом: Ф. 829, 831, 831, 834, 847, 849.
М.- В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике.- М.:Наука,1987.
Д. – Б.П. Демидович. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Наука, 1977.
(Ф.)- А.Ф. Филиппов. Сборник задач по лифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1979. (Б).- Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1977, 1998, 2005.
(К.)-Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономических специальностей. Ч.2. М.: Высшее об-
разование, 2005.
236