5.ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5.1 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения»

Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды, а также основные типы обыкновен-

ных дифференциальных уравнений с методами их решений.

Учебная задача: Выработать умение пользования данным математическим аппаратом при постановке и решении математических моделей физических и инженерных задач, а также разви-

тие достаточно высокого уровня математического и логического мышления.

Объем курса: 32 часа

Структура курса: лекции — 16 часов, практические занятия — 16 часов.

Содержание курса

Тема 1. Числовые и степенные ряды.

Понятие числового ряда. Сходящийся ряд, его сумма. Критерий Коши сходимости число-

вого ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Признаки сходимости Абеля и Дирихле. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости и область сходимости степенного ряда. Про-

межутки равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Тео-

ремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

Тема 2. Общие понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям.

Основные понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям: порядок уравнения,

решение уравнения, интегральная кривая, интеграл. Задача Коши, начальные данные. Общее и ча-

стное решения дифференциального уравнения. Общий и частный интегралы.

Тема 3. Решение уравнений с разделяющимися переменными, линейных уравнений

первого порядка, уравнений Лагранжа и Клеро.

Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и приводящиеся к ним, линейные уравне-

ния, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Уравнения первого порядка, не

165