2.2. Наращение процентовm раз в году. Номинальная и эффективная ставки процентов.

Номинальная ставка. Проценты, как правило, капитализируются не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (2.1). Параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% годовых с ежемесячным начислением процентов".

Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, число периодов начисления в году – m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

S=P(1+ j/m)^N, (2.2)

где N – число периодов начисления (N=nm).

Пример 12. Ссуда величиной 10000 рублей выдана на 2 года. Номинальная ставка сложных процентов – 14% годовых. Определить сумму накопленного долга, если начисление процентов производится: (1) раз в году; (2) раз в полугодие; (3) раз в квартал.

Решение. (1) m=1, j/m=0,14, N=2. S=P(1+ j/m)^N=10000·(1+0,14)²=10000·1,2996= =12996 руб. – наращенная сумма.

(2) m=2, j/m=0,14/2=0,07, N=2·2=4. S=10000·(1+0,07)⁴=10000·1,3108=13108 руб.

(3) m=4, j/m=0,14/4=0,035, N=2·4=8. S=10000·(1+0,035)⁸=10000·1,3168=13168 руб.

Как видно из приведенного выше примера, при одной и той же номинальной процентной ставке, но разной частоте начисления процентов результаты отличаются: чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения. По этой причине номинальная процентная ставка не может служить универсальным измерителем эффективности финансовых операций.

Эффективная ставка. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Т.е. эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i_э. Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+i_э)ⁿ=(1+ j/m)^nm,

где i_э – эффективная ставка, а j – номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

i_э=(1+ j/m)^m-1.

Обратная зависимость имеет вид

j=m((1+i_э)^1/m-1)=.

Надо заметить, что при m>1 эффективная ставка больше номинальной.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i_э не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Пример 13. Рассчитать эффективные процентные ставки для примера 12 и найти накопленную сумму долга.

Решение. (1) m=1, i_э=0,14. S=P(1+i_э)²=10000·1,14²=12996 руб.

(2) m=2, i_э=(1+ j/m)^m-1=(1+0,14/2)²-1=0,1449 или 14,49%. S=10000·1,1449²= =13108 руб.

(3) m=4, i_э=(1+0,14/4)⁴-1=0,1475 или 14,75%. S=10000·1,1475²=13168 руб.

Пример 14. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Решение. m=4, i_э=0,12. Тогда j=m((1+i_э)^1/m-1)=4·((1+0,12)^1/4-1)=4·(1,02874-1)= =0,11495, т.е. 11,495%.

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления. В этом случае при m-разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1. По формуле (2.2) сложных процентов (общий метод)

S=P(1+j/m)^N,

где N – число (возможно дробное) периодов начисления;

2. На основе смешанного метода, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов, за дробную часть срока – по формуле простых процентов:

S=P(1+j/m)^а(1+bj/m),

где a – целое число периодов начисления (a=[N] – целая часть числа N), b – оставшаяся дробная часть (b=N-a);

3. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается.

Пример 15. Размер ссуды 20 тыс. ден. ед., которая предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) дробная часть игнорируется; 2) на дробную часть начисляются сложные проценты, 3) на дробную часть начисляются простые проценты.

Решение. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется 28/3= кварталов.

1) S=20·(1+0,6/4)⁹=20·1,15⁹=20·3,5179=70,358 тыс. ден. ед.;

2) =20·3,6856=73,713 тыс. ден. ед.;

3) S=20·(1+0,60/4)⁹·(1+(1/3)·(0,6/4))= 20·3,5179·1,05=73,876 тыс. ден. ед.

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает в третьем случае, т.е. при применении смешанного метода.