3. Производные процентные расчеты.

3.1. Эквивалентность процентных ставок.

Как было показано выше, для процедур наращения и дисконтирования могут применяться ставки процентов различного типа: простые и сложные процентные и учетные ставки. В связи с тем, что контракты могут быть составлены с использованием различных видов ставок, то для сопоставления их доходности возникает необходимость в установлении правил эквивалентного приведения различных ставок к ставке одного вида. Динамика процессов наращения и дисконтирования определяется только временнóй зависимостью множителя наращения и дисконтного множителя и не зависит от величины первоначальной и конечной сумм. Поэтому замена одного типа ставки на другой не изменит отношения сторон в рамках конкретного контракта, если от такой замены соответствующие множители не изменятся. Такие ставки называют эквивалентными. Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в п. 2.2. при определении эффективной ставки процента. В принципе соотношение эквивалентности можно найти для любой пары различного вида ставок – простых и сложных, дискретных и непрерывных.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях выводятся из равенства взятых попарно множителей наращения. Например, для определения соотношения эквивалентности между простой и сложной ставками приравняем соответствующие множители наращения:

(1+ni_s)=(1+i)ⁿ,

где i_s и i – ставки простых и сложных процентов. Решение равенства дает следующие соотношения эквивалентности:

;

.

Соотношения между численными значениями двух эквивалентных друг другу различных типов ставок зависит от срока контракта: ставки, эквивалентные при одном сроке контракта, неэквивалентны при другом его значении.

Пример 25. Необходимо найти величину простой учетной ставки (К=360), эквивалентной годовой простой процентной ставке 40% (К=365) при условии, что срок учета равен 255 дням.

Решение. Для установления эквивалентности воспользуемся исходными формулами S = P (1+ni) и P = S (1–nd), из которой следует, что S = P (1–nd).

Приравняем множители наращения, подставив n=t/K (t – срок наращения процентов в днях, K – временная база):

(1+(t/365)i)=1/(1–(t/360)d),

откуда получаем формулу эквивалентного перехода

=0,30835, т.е. 30,835%

Пример 26. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?

Решение. Из равенства е^ = (1+j/m)^m следует  = m ln (1+j/m)= 4·ln (1+0,2/4)=0,19516, т.е. 19,516%.

Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют расширить применение непрерывных процентов. Непрерывные проценты во многих сложных расчетах позволяют существенно упростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому, используя формулы эквивалентности, нетрудно представить полученные результаты в виде общепринятых характеристик.

3.2. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения.

В рассмотренных выше методах определения наращенной суммы не учитывались такие моменты, как налоги и инфляция. Затронем эту проблему.

Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J_c. Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J_p, т.е.

J_c=1/J_p.

Индекс цен J_p показывает, во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени. Указанные индексы должны относиться к одинаковым интервалам времени.

Наращение по простым процентам. Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен J_p, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

C = S / J_p.

Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период, обычно он измеряется в процентах и определяется как

h =100(J_p–1).

В свою очередь

J_p =(1+h/100).

Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен:

, (3.1)

где h_t – темп инфляции в периоде t. В частности, при неизменном темпе прироста цен h за один период (например, h – ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции) за n периодов получим

J_p =(1+h/100)ⁿ. (3.2)

Пример 27. Постоянный темп инфляции на уровне 2% в месяц приводит к росту цен за год в размере

J_p = (1+h/100)ⁿ =1,02¹²=1,268.

Таким образом, действительный годовой темп инфляции равен 26,8%.

Пусть приросты цен по месяцам составили: 1,5; 1,2 и 0,5%. Индекс цен за 3 месяца равен J_p =1,015·1,012·1,005=1,0323. Темп инфляции за 3 месяца – 3,23%.

Если наращение производится по простой ставке i в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

C = S / J_p=.

Как видно из формулы, увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда 1+ni>J_p. Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

i = (J_p–1)/n.

Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой. Брутто-ставка r находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента:

,

откуда

.

Пример 28. На сумму 1500 ден. ед. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 28% годовых. Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2,0; 1,8%. Найти наращенную сумму с учетом обесценивания.

Решение. Наращенная сумма равна 15·(1+0,25·0,28)=1605 ден. ед.

Индекс цен J_p= 1,025·1,02·1,018=1,06432.

Наращенная сумма с учетом обесценивания составит:

1605/1,06432=1507,85 ден. ед.

Пример 29. Вы разместили средства в виде полугодового депозита под ставку 40% годовых. Но темп инфляции составил 35% годовых. Какова реальная ставка процентов?

Решение. r = 0,4; h = 40%; n = ½.

Индекс цен J_p за полгода равен J_p =(1+h/100)ⁿ ==1,161895.

i =((1+nr)/ J_p–1)/n=((1+0,2)/1,161895–1)·2=0,06559, т.е. 6,559%.

Наращение по сложным процентам. Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег составит

C = S / J_p=,

где индекс цен J_p определяется выражением (3.1) или (3.2) в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.

В этом случае падение покупательской способности денег компенсируется при ставке i=h, обеспечивающей равенство C=P. Только в ситуации, когда h/100<i, происходит реальное накопление.

Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.

1) Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, т.е. на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой (r). Считая, что годовой темп инфляции равен h (выражен в виде десятичной дроби), можем написать равенство соответствующих множителей наращения

,

где i – реальная ставка. Отсюда

r = i+h+ih,

т.е. инфляционная премия равна h+ih.

2) Индексация первоначальной суммы P. В этом случае сумма P корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда

S = P J_p (1+i)ⁿ. (3.3)

Нетрудно заметить, что в обоих случаях в итоге приходим к формуле наращения (3.3), в которой в правой части первые два сомножителя отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два – корректировку ставки процента.

Пример 30. Предполагаемый темп инфляции 12% в год. Какую ставку сложных процентов нужно проставить в контракте, если желательна реальная доходность 8%? Чему равна инфляционная премия?

Решение. r = i+h+ih =0,08+0,12+0,08·0,12=0,2096, т.е. примерно 21%.

Инфляционная премия равна 21%–8%=13%.

Измерение реальной ставки процента. На практике приходится решать и обратную задачу – находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной брутто-ставке r.

При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна

.

При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определятся следующим выражением

.

Учет налогов. В ряде стран проценты, получаемые кредитором или вкладчиком, облагаются налогом. Это, конечно, уменьшает величину реально получаемой наращенной суммы. Расчет этой суммы можно представить следующим образом.

Обозначим наращенную сумму до уплаты налогов, как и раньше, через S, а после уплаты – через C. Пусть ставка налогов равна g.

Тогда, при начислении простых процентов, получаем, что сумма налога равна Ig = (S – P)g, а наращенная сумма после уплаты налогов

C = S – (S – P)g = S (1– g) + Pg = P (1+n ((1– g) i).

Это выражение означает, что при начислении простых процентов учет налога сводится к соответствующему сокращению процентной ставки: для получения реального наращения следует вместо ставки i применять ставку (1– g) i.

При начислении налога на сложные проценты, применяемые обычно в средне- и долгосрочных операциях, возможны два варианта расчета: определение налога за весь срок сразу, и расчет процентов за каждый год в отдельности. Первый вариант удобен, когда налоговая ставка в пределах облагаемого налогом периода остается неизменной. Второй оказывается единственно возможным, когда налоговая ставка их года в год меняется.

В первом варианте расчета сумма налога за весь срок равна

(S – P)g= P ((1+i)ⁿ –1)g,

а наращенная сумма после выплаты налога

C = S – (S – P)g = S (1– g) + Pg = P ((1– g)(1+i)ⁿ +g).

Во втором варианте сумма налога рассчитывается за каждый истекший год. Поскольку речь идет о сложных процентах, ясно, что сумма процентов будет из года в год возрастать, соответственно будет меняться и сумма налога.

Обозначим сумму налога за год t через G_t. Ее можно найти с помощью следующего рекуррентного выражения

G_t = I_t g= (S_t –S_t–1)g =P((1+i)^t–(1+i)^{t –1})g.

Если налоговая ставка постоянна, то сумма налогов за весь срок, рассчитанная первым способом, равна сумме налогов, рассчитанных за соответствующие годы вторым способом.