мет.указ. к.р. №1-3
.pdf7.1.49. |
lim |
x + ln(1+ x) |
. |
7.1.50. |
lim |
ex − e |
−x |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− x) |
||||||||
|
x→0 ex −1 |
|
|
x→0 ln(1 |
|
7.3.21–7.3.30. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f (x) для x R и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].
7.3.21.а)
7.3.22.а)
7.3.23.а)
7.3.24.а)
7.3.25.а)
7.3.26.а)
7.3.27.а)
7.3.28.а)
7.3.29.а)
7.3.30.а)
y = |
|
4x |
|
|
|
, |
||
4 |
+ x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
y = |
|
x2 |
−1 |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
+ |
1 |
|||||
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
x3 |
|
|
, |
||
|
x2 |
+ |
1 |
|||||
|
|
|
|
|||||
y = |
|
x2 |
− |
5 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
− 3 |
||||||
|
|
|
|
y = 2 − 4x2 , 1− 4x2
y= (x −1)e3x+1,
y= ln x ,
x
1
y= e2− x ,
y= xe−x2 ,
y = x2 − 3 , x2 + 9
б) [–3; 3] .
б) [–1; 1] .
б) [–2; 2 ] .
б) [–2; 2] .
б) [ 1; 4] .
б) [ 0; 1] .
б) [ 1; 9] .
б) [–1; 1] .
б) [–2; 2] .
б) [–2; 2] .
11
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы.
8.1.21–8.1.30. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
8.1.21. а)
в)
8.1.22.а)
в)
8.1.23.а)
в)
8.1.24.а)
в)
8.1.25.а)
в)
8.1.26.а)
в)
8.1.27.а)
в) 8.1.28. а)
в)
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(x +1) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− sin x + x4 |
|
dx; |
б) |
∫ |
|
dx; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫ |
|
9 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫(x +1)cos x dx; |
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− 5sin |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 − |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dx; б) |
∫ |
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 9 |
x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ln3x dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
x − 8 |
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x − 2) |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
− 2 − 3sin x |
dx; |
б) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||
сos |
2 |
x |
|
|
xln x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ xsin 2x dx; |
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
1− x |
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− sin x dx ; |
|||||
|
− x |
2 |
|
x |
2 |
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫x e2xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
∫ |
ex + x7 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 − x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫x cos xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|||
cos x − |
|
|
|
|
|
|
|
+ 5x |
dx |
; |
||||||
sin2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
∫xln xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
3dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
(x −1)(x + 9) |
|
|
|
|||||||||||||
∫(x −1)exdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫(x6 |
+ 6x |
+ cos x)dx; |
|
∫(x + 3)sin xdx ;
|
∫x |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x2 |
+1dx ; |
|
||||||
г) ∫ctg4 xdx . |
|
||||||||
б) |
∫ |
|
|
5dx |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos |
2 |
(5x −1) |
|||||||
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
1+ |
|
|
||||||
|
||||||||
|
x |
|||||||
|
|
|
|
1 |
||||
б) |
|
∫ |
cos x − |
|
|
|||
|
sin2 x |
|||||||
г) ∫ |
|
|
3dx |
|||||
|
. |
|||||||
(x −1)(x + 9) |
+ 5x4 dx;
б) |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
− x |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|||||||
г) ∫sin3 x cos8 xdx. |
|||||||||||||
б) |
|
∫(x6 + 6x |
+ cos x)dx; |
||||||||||
г) |
∫ |
|
|
|
x |
+ |
4 |
|
|
dx . |
|||
(x +1)(x |
2 |
+ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
5x + 6) |
12
8.1.29. а) |
∫(x5 + |
|
1 |
|
|
|
|
− 2x )dx ; |
б) |
|
∫sin2 xcos xdx ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1− x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
∫arctgxdx ; |
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
(x +1)dx |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x − 2 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||
8.1.30. а) |
∫ |
|
|
|
|
− x |
|
|
+ 3e |
dx; |
б) |
|
∫e |
|
|
cos xdx ; |
|||||||||
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
∫ln 2xdx; |
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+ 3 |
|
) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
8.3.21–8.3.30. Исследовать интеграл на сходимость.
∞ |
|
dx |
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
8.3.21. ∫ |
|
. |
8.3.22. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
x −1 |
||||||||||
∞ sin x |
∞ |
|
|
xdx |
|||||||||||||||||
8.3.23. ∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
8.3.24. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.3.25. ∫е−x xdx. |
8.3.26. ∫е−x xdx. |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.3.27. ∫ |
|
|
. |
8.3.28. ∫ |
dx |
. |
|
||||||||||||||
|
(x −1)2 |
x |
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||
8.3.29. ∫ |
|
|
|
|
. |
8.3.30. ∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
− 4x + 4 |
|||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.31–9.1.40. Дана функция двух переменных z = f (x; y) . Найти все
частные производные первого и второго порядков. Обосновать равенство z′xy′ = z′yx′ .
9.1.31. |
z = |
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
− y |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
9.1.33. |
z = arctg |
y |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
9.1.35. |
z = cos(x2 − y2 ) . |
9.1.37. |
z = ln(x3 −5y2 ) |
9.1.39. |
z = arcsin(x2 y) . |
9.1.32. z = ln(x2 − 4y3 ) .
9.1.34. z = ex2 y − x2 y .
y
9.1.36. z = arcsin x2 .
9.1.38. z = x3 + x2 y +1 .
9.1.40. z = arctg(x2 y) .
13
9.2.1–9.2.10. Дана функция z = f (x, y) и точка M1(x1; y1). С помощью полного дифференциала вычислить приближенно значение функции в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке M0 и оценить относительную погрешность вычислений.
9.2.1. z = x2 |
+ 3xy + y2 ; |
M1(0,98;1,04) . |
||||||||||||||||||
9.2.2. z = 2xy − 3y2 + 5x ; |
M1(3,04; 2,03) . |
|||||||||||||||||||
9.2.3. z = x2 |
+ y2 |
+ 2x − 2y ; |
M1(0,94;1,04). |
|||||||||||||||||
9.2.4. z = x2 |
+ y2 |
+ 4x − 2y ; |
M1(2,94;1,05). |
|||||||||||||||||
9.2.5. z = y2 |
+ 3xy + x; |
M1(1,05;1,95). |
||||||||||||||||||
9.2.6. z = x2 |
+ 2xy + y2 ; |
M1(2,06; 0,98). |
||||||||||||||||||
9.2.7. z = x2 |
− y2 |
+ 3x + 2y ; |
M1(1,02; 2,05) . |
|||||||||||||||||
9.2.8. z = x2 |
+ 4xy + y2 ; |
M1(2,96; 0,94). |
||||||||||||||||||
9.2.9. z = 3xy + 2x + 5y ; |
M1(1,04; 2,96) . |
|||||||||||||||||||
9.2.10. z = x2 |
− 3xy + 2x ; |
M1(0,96; 2,05). |
||||||||||||||||||
10.1.1–10.1.10. Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж |
||||||||||||||||||||
дуги кривой L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.1.1. ∫ |
|
x2 |
+1 |
|
|
dx + |
|
|
x − y |
dy , где L – отрезок прямой от точки (1; 0) до точки |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
y +1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.1.2. ∫ |
|
x2 |
|
dx + |
|
x + 2y |
dy , где L – отрезок прямой от точки (1;1) до точки |
|||||||||||||
|
y + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.1.3. ∫ |
|
y2 |
+1 |
|
dx + |
|
x +1− y |
dy , где L – дуга кривой y = ln(x +1) от точки |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
x +1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; 0) до точки (e – 1;1). |
|
|||||||||||||||||||
10.1.4. ∫ |
|
y2 |
−1 |
dx + |
1 |
dy , где L – дуга кривой y = x2 от точки (1;1) до точки |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
L |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.1.5. ∫(y2 |
− x)dx + (x2 − y)dy , где L – верхняя половина окружности |
|||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = sin 2t, y = cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки. |
||||||||||||||||||||
10.1.6. ∫( |
y |
−1)dx + |
1 |
dy , где L – дуга кривой y = x2 от точки (–1;1) до точки |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
L |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(–2; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
10.1.7.∫ y2dx + x2dy , где L – верхняя четверть окружности x = 2sin t,
L
y = 2cos t. Интегрировать против часовой стрелки.
10.1.8. ∫ |
x2 +1 |
dx + |
x − y |
dy , где L – отрезок прямой от точки (1; 0) до точки |
||||
|
|
|
|
|||||
L |
y +1 |
|
|
x +1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
(2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.1.9. ∫ |
y −1 |
dx + |
x −1 |
dy , где L – дуга кривой y = x2 от точки (1; 1) до |
||||
|
|
|||||||
L |
x |
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
точки (2; 4).
10.1.10. ∫(y − x)dx + (x − y)dy , где L – верхняя половина эллипса x = 3sin 2t,
L
y = 4cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки.
15