6.1.2. Определение перемещений при изгибе и расчеты на жесткость

6.1.2.1. Перемещения при изгибе. Условия жесткости

При прямом изгибе балки ее ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Изогнутая ось балки, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки, называется упругой линией. Деформация балки в плоскости характеризуется двумя перемещениями (рис. 6.3):

Рис.6.3

1) прогибом - линейным перемещением точек оси балки по нормали к ее первоначально прямой оси;

2) углом поворота сечения - углом, на который поворачивается поперечное сечение балки относительно его первоначального положения, так как по гипотезе Бернулли поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси балки. Из этой же гипотезы следует, что, где- уравнение упругой линии (см. рис.6.3).

При эксплуатации элементов конструкций перемещения идолжны быть ограничены по величине и удовлетворять условиям жесткости

; (6.5)

, (6.6)

где и– допускаемые значения прогиба и угла поворота, задаваемые из конструктивных и технологических соображений. Из условий жесткости (6.6) выполняют те же виды расчетов, что и из условия прочности (6.4).

6.1.2.2. Определение перемещений интегрированием

дифференциального уравнения упругой линии балки.

Метод начальных параметров

Дифференциальное уравнение упругой линии балки при малых перемещениях

(6.7)

где - изгибающий момент,- жесткость балки.

Уравнение углов поворота

(6.8)

Уравнение упругой линии

(6.9)

Если балка состоит из n участков, то уравнения углов поворота и упругой линии представляются в виде

(6.10)

(6.11)

где k = 1,2,…,n.

Постоянные число которых равно 2n, определяют из условий закрепления (два условия для статически определимых балок) и условия непрерывности и плавности упругой линии балки. Отсюда следует, что в смежных точках участков (число которых n – 1) должны быть равны прогибы и углы поворота.

Если балка состоит из участков постоянной жесткости , дифференциальное уравнение упругой линии можно записать в виде

. (6.12)

Число постоянных интегрирования уравнения (6.12) сводится к двум, если при составлении выражений для и интегрировании (5.12) используются следующие приемы.

1. Начало координат выбирают в крайнем сечении балки и абсциссу произвольного сечения на каждом участке отсчитывают от начального сечения, так что для k-го участка можно записать , где- абсциссы начала и концаk-го участка, для первого участка = 0, для последнего, гдедлина балки.

2. Если абсцисса приложения сосредоточенного момента, то в выражении для изгибающего момента его учитывают в виде.

3. Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается в сечении , то ее продолжают до конца балки, и от сеченияприкладывают нагрузку противоположного направления.

4. Интегрирование уравнения (6.12) ведется без раскрытия скобок.

Выполнение п.п. 1 – 4 приводит к автоматическому выполнению условий равенства прогибов и углов поворота в смежных точках участков и равенствам

(6.13)

где угол поворота и прогиб начального сечения, которые называют начальными параметрами.

Полученные после интегрирования уравнения прогибов и углов поворота для го участка при

; (6.14)

, (6.15)

где абсцисса началаj – го участка, ,- сосредоточенный момент и сила, приложенные в началеj – го участка, - интенсивность равномерно распределенной нагрузки, абсцисса начала которой. При этом положительными считают,,, изгибающие балку выпуклостью вниз. Начало координат можно брать на любом из крайних сечений балки, если начальное сечение левое, то  0 означает, что сечение поворачивается против часовой стрелки, если правое – по часовой.

Среди сосредоточенных нагрузок могут быть реакции связей. Если балка статически определима, то реакции определяют из уравнений равновесия. Начальные параметры определяют из условий закрепления.

6.1.2.3. Определение перемещений методом Мора

Метод Мора представляет собой универсальный метод определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах.

Для того чтобы определить методом Мора перемещение (прогиб или угол поворота) в некотором сечении балки или рамы необходимо:

1. кроме «грузового» состояния («Р»), представляющего собой балку (или раму), нагруженную заданными нагрузками, необходимо рассмотреть «единичное» состояние, то есть ту же самую балку (или раму), освобожденную от заданных нагрузок и нагруженную единичным силовым фактором (единичной силой, когда определяется прогиб, или единичным моментом, когда определяется угол поворота), приложенным в сечении, перемещение которого определяется, и ориентированным в направлении искомого перемещения;

2. оба эти состояния разбить на одинаковые участки;

3. на каждом k – м участке записать аналитическое выражение изгибающих моментов, соответствующих «грузовому» состоянию и «единичному» состоянию;

4. определить искомое перемещение как сумму интегралов Мора по участкам балки (или рамы):

(6.16)

где n – число участков; k – номер участка; длина участка; изгибная жесткостьk – го участка.

Если  0, то направление искомого перемещения совпадает с направлением единичного силового фактора, если  0, то противоположно ему.