КРУЧЕНИЕ

4. КРУЧЕНИЕ

4.1 Основные понятия и зависимости

Кручением называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только крутящие моменты (или ).

Кручение прямого бруса происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси Z. Брус, работающий главным образом на кручение, принято называть валом.

При расчете валов в ряде случаев величины внешних (скручивающих) моментов определяются по величине передаваемой мощности и скорости вращения вала

(Нм), (4.1)

где N – передаваемая мощность, заданная в киловаттах; n – частота вращения вала в оборотах в минуту.

Величины крутящего момента в поперечных сечениях вала определяют методом сечений. Согласно методу сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения:

(4.2)

Знак физического смысла не имеет, и общепринятого правила знаков не существует. В дальнейшем для определенности будем считать, что внешние (скручивающие) моменты, направленные против часовой стрелки, при взгляде со стороны внешней нормали к рассматриваемому сечению дают в выражении положительные слагаемые, а направленные по часовой стрелке – отрицательные слагаемые (рис. 4.1).

В поперечных сечениях вала при кручении возникают только касательные напряжения . Условие прочности при кручении вала круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения имеет вид

, (4.3)

где наибольшее касательное напряжение, возникающее в сечении вала;  крутящий момент в сечении вала;   допускаемое значение касательного напряжения; полярный момент сопротивления сечения.

Рис. 4.1

Для круглого сплошного сечения и для кольцевого сечения . Здесь d – диаметр сплошного сечения; D и d  соответственно наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения; .

Из условия прочности (4.3) выполняют три вида расчетов: проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (4.3).

Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (4.3) получаем

(4.4)

Для проведения расчета грузоподъемности (определение допустимых значений скручивающих моментов) формула (4.3) преобразуется к виду

. (4.5)

Определив из (4.5) максимальное значение , с использованием эпюры крутящих моментов устанавливают допустимые значения внешних (скручивающих) моментов.

При кручении вала угол поворота одного сечения относительно другого называется углом закручивания участка вала, расположенного между этими сечениями. Угол закручивания  участка вала длиной определяется по формуле

(радиан). (4.6)

Здесь - аналитическое выражение крутящего момента; крутильная жесткость сечения вала; модуль сдвига; полярный момент инерции сечения.

Для круглого сплошного сечения а для кольцевого сечения .

При = const и = const на длине формула (4.6) преобразуется к виду

. (4.7)

Для ступенчатых валов или же для валов, у которых меняется по длине скачкообразно (т.е. постоянен в пределах каждого из участков)

(4.8)

где - крутящий момент на - ом участке вала; - длина - ого участка вала; - крутильная жесткость сечения - ого участка вала; n – количество участков вала, расположенных между сечениями, угол закручивания которых определяется.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называют относительным углом закручивания и рассчитывают по соотношению

(4.9)

Условия жесткости вала записывают в виде

или . (4.10)

Здесь  и  - допустимые значения относительного и абсолютного углов закручивания.

Из условий (4.10) проводят те же три вида расчетов, что и из условия прочности (4.3).

4.2. Расчеты на прочность и жесткость при кручении бруса круглого поперечного сечения

Задача. К стальному валу приложены три известных момента: = 1100 Нм, 1300 Нм, 1500 Нм (рис. 4.2), а длины участков равны а = 1,1 м, в = 1,3 м, с = 1,5 м. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при значении  = 60 МПа определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить до ближайшего целого стандартного размера; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).

Решение

1. Определим значения момента Х, при котором угол поворота правого концевого сечения Е (рис. 4.2) равен нулю.

Угол поворота сечения Е равен сумме углов закручивания по участкам, расположенным между этим сечением и жесткой заделкой. Разобьем вал на участки, руководствуясь правилом, что границами участков являются сечения, в которых приложены скручивающие моменты, а также места резкого изменения геометрии сечения и интенсивности распределенных моментов. Согласно этому правилу вал следует разбить на четыре участка. Пронумеруем эти участки, начиная от концевого сечения Е (рис 4.2). Учитывая, что крутильная жесткость вала GJ постоянна по его длине, угол поворота сечения Е можно записать в следующем виде

(4.11)

Составляем для каждого из участков вала уравнения крутящего момента согласно выражению (4.2), рассматривая каждый раз отсеченную правую часть вала.

(4.12)

Подставляя полученные выражения крутящих моментов в (4.11), получаем следующее уравнение для определения Х:

откуда находим

Рис. 4.2

2. Построение эпюры крутящих моментов. Из выражений (4.12) следует, что крутящий момент постоянен на каждом из участков вала. Подставляя в эти выражения найденное значение момента Х и заданные значения , и , получим: = 304 Нм, = 304 – 1500 =  1196 Нм, = 304 – 1500 +1300= 104 Нм, = 304 – 1500 + 1300 + 1100 = 1204 Нм.

По этим данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.2б).

3. Определим теперь необходимый диаметр вала. Величину этого диаметра определяют в ходе проектного расчета, который проводят по формуле (4.4). Учитывая, что для сплошного кругового сечения , получим формулу для расчета диаметра вала

(4.13)

Из анализа эпюры крутящих моментов следует, что крутящий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения на четвертом участке вала и равен 1204 Нм. Подставляя это значение в (4.13), получим

мм

(коэффициент введен под знаком корня для перевода в Нмм)

Принимаем d = 50 мм.

4. Построим эпюру углов закручивания . Построение этой эпюры начинаем от заделки, т.е. от неподвижного сечения,

Участок IV. Угол поворота произвольного сечения четвертого участка, положение которого определено координатой , определяется углом закручивания участка , расположенного между этим сечением и жесткой заделкой. Используя формулу (4.7), получим

 уравнение прямой.

Учитывая, что для стали G = 8  10 МПа, а - для сплошного кругового сечения, определим в крайних сечениях четвертого участка:

при :

при :

рад.

Участок III. Угол поворота любого сечения третьего участка определяется как сумма угла поворота сечения В и угла поворота рассматриваемого сечения относительно сечения В:

 (линейная зависимость).

В крайних сечениях участка получим:

при рад; при

: рад;

Участок II. Аналогично определим угол поворота произвольного сечения второго участка:

 (линейная зависимость).

На границах участка получим:

при рад;

рад.

Участок I. Для угла поворота произвольного сечения первого участка получим выражение

 (линейная зависимость).

На границах участка получим:

при рад;

:

По полученным значениям  строим эпюру углов закручивания (рис. 4.2,с).

5. Определение наибольшего относительного угла закручивания. Величина относительного угла закручивания определяется по формуле (4.9). Поскольку крутильная жесткость сечения вала то наибольшее значение относительного угла закручивания будет соответствовать максимальному крутящему моменту. Из эпюры следует, что Нмм. Тогда согласно соотношению (4.9) получим

4.3. Вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения

Вопросы для самопроверки

1. Какой вид деформирования называется кручением?

2. Как определяют крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала?

3. Как определяют напряжения при кручении круглого вала?

4. Как рассчитывают полярный момент инерции и момент сопротивления для вала круглого сплошного и кольцевого сечения?

5. Как записывается условие прочности при кручении круглого вала?

6. Как используется условие прочности при кручении круглого вала для различных видов расчетов (проверочного, проектного, грузоподъемности)?

7. Что такое абсолютный угол закручивания и как его рассчитывают?

8. Что такое относительный угол закручивания и как его определяют?

9. Что такое жесткость вала?

10. Как записывается условие жесткости при кручении круглого вала?

11. Как используется условие жесткости при кручении круглого вала для различных видов расчетов (проверочного, проектного, грузоподъемности)?

Задачи для самостоятельного решения

1. Для валов, расчетные схемы которых приведены на рис. 4.3, рассчитать необходимую величину диаметра D сплошного кругового сечения и определить угол поворота сечения С  С, если М = 40 кНм, а = 0.5 м,  = 50 МПа, G = 8  10 МПа.

Рис. 4.3

1. Вал трубчатого сечения жестко защемлен в левом сечении и нагружен скручивающими моментами М = 1 кНм и М = 4 кНм (рис 4.4). Внешний диаметр сечения равен D, а внутренний d = D/2. Рассчитать величину диаметра D, если  = 50 МПа, G = 8  10 МПа.

2. Вал трубчатого сечения с внешним диаметром D = 80 мм и внутренним диаметром d = 60 мм жестко защемлен с левой стороны и нагружен скручивающими моментами М = М и М = 3М (рис. 4.5). Определить допускаемые значения М и М, если  = 20 МПа,  = 0,6 град/м, G = 8  10 МПа.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

57