Таким образом, требования нормативных документов, с одной стороны, исторически сложившаяся практика обучения математики, с другой, позволяют сделать вывод о необходимости и возможности практико-ориентированного обучения и выделения линии практических приложений в школьном курсе математики.

К базовому понятию линии естественно отнести понятие математической модели, т.к. оно проявляется во всех средствах обучения практическим приложениям математики в школе. Математическим методом выделяемой линии является метод математического моделирования, который одновременно является специальным (частнометодическим) методом обучения и методом решения задач на приложения математики в школе.

Тема 3. Принципы конструирования линии ППМ

Ведущая идея реализации линии ППМ, принципы конструирования линии ППМ (математизации, соответствия, доступности, достоверности, открытости), формализация действительности, содержательная модель.

Методологическая функция линии ППМ позволяет сформулировать ведущую идею и принципы ее конструирования. Накопленный педагогический опыт свидетельствует, что практические приложения геометрии для их использования в обучении должны быть подобраны специальным образом.

Как известно, приобретенные школьниками умения применять геометрию проявляются при изучении ряда школьных предметов: физики, химии, географии и т.д. Для развития таких умений в курс геометрии традиционно включаются межпредметные задачи. Для того чтобы уроки геометрии не подменяли уроки других дисциплин, при подборе задач межпредметного содержания основной акцент делается на построение

70

математической модели, на выбор подходящего математического аппарата. Используемые при этом физические, химические или какие-либо другие модели задачи достаточно просты. Таким же образом осуществляется и подбор всех видов задач на приложения математики. Ведь на уроках математики школьники прежде всего обучаются математике.

Руководствуясь выводами, полученными в результате изучения роли математики в познании предметного мира, исторических аспектов развития математики-науки, исторического анализа развития прикладной составляющей школьного курса математики, сформулируем ведущую

идею реализации линии практических приложений математики в школе и практико-ориентированного обучения математике в целом.

Содержание и методы обучения, используемые при реализации линии ППМ, направлены на: формирование у школьников понимания роли математики в решении широкого круга проблем, возникающих в учебной, научной и профессиональной деятельности, в повседневной жизни; формирование способности использовать полученные знания вне рамок учебного процесса.

Опираясь на ведущую идею и на известные общедидактические принципы связи обучения с жизнью, теории с практикой,91 выделим

принципы конструирования линии практических приложений математики в школе.

1.Математизации знаний.

2.Соответствия областей практических приложений математики познавательным возможностям и интересам учащихся.

3.Доступности для изучения на школьном уровне средств математизации знаний.

4.Достоверности содержания практических приложений математики.

5.Открытости содержания линии.

91 Ситаров В.А. Дидактика: Учеб. пос. для студ. высш. пед. учеб. заведений/ Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Издательский центр «Академия» 2002. - 368 с.

71

1. Принцип математизации знаний.

Этот принцип означает, что процесс применения математики для изучения и преобразования реальных объектов является методологической основой конструирования линии ППМ.

Процесс проникновения методов математики в другие науки, упорядочение научных знаний с помощью математики принято называть математизацией. Как отмечает Г. Фройденталь, сущность математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и разработке методов их исследования. С философской точки зрения под математизацией наук понимают одно из культурных явлений, которое влияет на наши общие представления о мире, о процессе познания, определяет отношение человека к реальности, его понимание возможностей преобразования объективного мира.

Г. Фройденталь называет математизацию процессом «упорядочения действительности»92. Необходимость в таком упорядочении возникает вследствие накопления научных знаний в определенной области. Явление математизации наук довольно сложный и многоаспектный процесс, который может быть изучен с многих точек зрения. Изучение значения математизации, как средства описания, упорядочения и обобщения достижений различных наук является значимым и в методической подготовке учителя.

Н.Н. Моисеев утверждает, что существует и обратный процесс в математизации наук. Возникновение новых естественнонаучных концепций часто оказывалось связанным с появлением нового математического аппарата. Например, одновременно с развитием механики развивался и соответствующий аналитический аппарат, математический анализ, который позволил описать движение тел в пространстве. Примеров, когда математизируемая наука привносит что-то новое в математику фактически способствуя ее развитию, существует

92 Фройденталь Г. Аксиоматическая абстракция. Математика понятий и математика алгоритмов. В кн. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике. / Сост. Г.Д. Глейзер. - М.: Изд-во УРАО, 2001. - 384 с.

72

немало. Вот как пишет об этом Н.Н. Моисеев: «Новые факты, открытые учеными, технические конструкции, созданные инженерами, рождают новые математические задачи. На их основе возникают теории, которые на каком-то этапе, в какой-то момент помогут ученым открыть новые явления и т.д.»93. Сказанное еще раз подчеркивает взаимное влияние математики и других областей знаний, что подтверждает наше мнение о бинарном назначении приложений математики.

Процесс математизации исследуется и развивается в специальной математической области – прикладной математике. Наш анализ показывает, что фрагменты некоторых разделов прикладной математики изучаются и на школьном уровне, чаще на углубленном. Это - элементы дискретной математики (теория графов, задача четырех красок), численные методы (решение систем линейных уравнений), исследование операций (задача коммивояжера, элементы линейного программирования). Изложение для школьников отдельных вопросов из этих разделов можно найти, например, в журнале «Квант».

К основной особенности процесса математизации отнесем необходимость выделения из общей ситуации проблемы, которая может быть разрешена средствами математических теорий. Далее строится содержательная модель этой проблемы – непосредственно прикладная задача. При прохождении этих двух этапов математическая деятельность как таковая казалось бы отсутствует. Однако эти этапы в сущности определяют весь дальнейший ход применения математики. Здесь, наряду со знанием области приложений, требуются развитая математическая интуиция, широкие математические знания. Вот как пишет об этом Б.В. Гнеденко: «Математик-прикладник обязан владеть существом реальной задачи, уметь выбрать математический инструмент, который лучше всего подходит к ней, а если такого инструмента еще не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия и найти их

93 Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. - М.: Наука, 1979. - 224 с

73

истолкование».94 Наблюдения за обучением школьников, а также анализ учебно-

методической литературы показывают, что при решении большинства задач практического характера у учащихся нет необходимости выявлять проблему, подлежащую математизации. Они сразу имеют дело с содержательной моделью ситуации, часто полностью адаптированной для построения математической модели. Таким образом, важнейший этап

применения математики для исследования реального объекта оказывается пропущенным. Решение этой методической проблемы возможно путем добавления задач, для решения которых такая деятельность станет необходимой. Но на решение подобных задач требуется выделить немало учебного времени, что в условиях урока далеко не всегда возможно. Однако, такая возможность есть при организации прикладной проектной и исследовательской деятельности школьников, что будет показано далее.

Итак, в процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания. Современная математика объединяет различные области знаний в единую систему. Этот процесс отражен в содержании обучения и в его целях, направленных на овладение учащимися способами изучения и описания реальности с помощью математики. Согласно этому, школьники должны уметь выделять математические закономерности в окружающей действительности и понимать возможность и необходимость применения математических сведений к разрешению ситуаций, возникающих в реальном мире. Учет в обучении математике принципа математизации знаний позволит

94 Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М.: Просвещение, 1985. - 191 с.

74

обеспечить целостное восприятие учащимися идей прикладной математики и сформирует у них понимание роли математических знаний для решения широкого круга проблем.

75

Этим принципом утверждаем, что у каждого выпускника школы должна быть сформирована способность к формализации действительности, т.е. к выделению математических свойств реальных объектов. Таким образом, формируется «математический взгляд» на окружающий мир. При этом учащийся может не обладать широкими математическими знаниями, но он должен понимать, что в решении стоящей перед ним проблемы (бытовой или профессиональной) может принять участие математика, использованы присущие ей приемы мыслительной деятельности (синтез, анализ, аналогия и т.д.).

2.Принцип соответствия областей практических приложений математики познавательным возможностям и интересам учащихся.

Принцип означает, что отбор таких областей производится из научных областей знаний, практических сфер деятельности, среди бытовых

изанимательных ситуаций с реальным сюжетом с учетом возрастных интересов и познавательных возможностей учащихся. Подробнее этот принцип будет раскрыт при формулировании методических требований к фабуле задач, связанных с практическими приложениями математики в школе.

3.Принцип доступности для изучения на школьном уровне средств математизации знаний.

Принцип означает, что математические понятия и методы, используемые для изучения выбранных прикладных областей, не должны выходить за рамки школьного курса математики. Его содержание может рассматриваться как теоретическая основа практических приложений. Например, школьная геометрия является теоретической основой некоторых разделов геодезии и астрономии. Такой подход мотивирует изучение математики и повышает ее значимость для освоения других дисциплин, способствует формированию математического восприятия действительности («математический взгляд» на окружающий мир).

76