Тема 5. Пути использования задач на приложения математики на уроках

Направления формирования математических понятий через задачи:1) актуализация знаний и умений, необходимых для усвоения понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3) распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового понятия в систему известных понятий.

Изучение математических предложений (определений, аксиом, теорем) Я.И. Груденов142 делит на три этапа: введение, усвоение и закрепление. Для реализации этих этапов необходимы соответствующие задачи и упражнения. В настоящее время при формировании понятий в обучении школьного курса математике сложилась практика использования задач по пяти основным направлениям: 1) актуализация знаний и умений, необходимых для усвоения понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3) распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового понятия в систему известных понятий. (Л.М. Лоповок, Е.С. Канин, К.И. Нешков, А.Д. Семушин). Эти направления отражены в пятом признаке (по назначению в обучении) приведенной ранее классификации. Методика работы с задачами по каждому направлению имеет определенные особенности.

Раскроем эти особенности на примере использования задач на приложения на различных этапах обучения геометрии в основной школе на уроках: при введении, усвоении и закреплении изученного.

I. Введение понятий

Я.И. Груденов предлагает на этапе введения понятия организовывать на уроке математики обучение таким образом, что учащиеся либо сами «открывают» новые понятия, самостоятельно формулируют их определения, либо с помощью соответствующих задач готовятся к их пониманию. На этом этапе считаем целесообразным использовать задачи, способствующие актуализации знаний и умений, необходимых для

142 Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с

169

усвоения понятия; мотивации изучения понятия.

Л.М. Лоповок приводит пример задачи, которую учитель решает с учащимися для актуализации их знаний перед изложением теоремы об объеме шарового сегмента:

Купол имеет форму шарового сегмента с радиусом основания R и высотой Н. Для его строительства смонтированы подмостки, завершающиеся пятью цилиндрическими кольцами высоты h. Определить площадь поверхности этих колец.

При решении этой задачи учащиеся определяют радиусы колец, т.е. радиусы сечений шарового сегмента плоскостями, параллельными плоскости его основания. Кроме того, учащиеся рассматривают «ступенчатую» цилиндрическую фигуру. Все эти сведения понадобятся школьникам при изучении теоремы.

Приведем примеры использования задач на приложения с целью мотивации изучения понятий. Перед тем как перейти к определению вводимого понятия, целесообразно провести подготовительную работу. Для этого учитель предлагает учащимся ряд задач, при решении которых еще нет необходимости использовать понятие на уровне точного определения. Оно вводится только на интуитивном уровне, т.е. имеется некоторая информация, характеризующая понятие с той или иной стороны. Такие задачи используются для мотивирования изучения нового понятия. Задачи для этой цели подбираются первого или второго уровня сложности (имеется прямое указание на математическую модель; объекты и отношения легко соотносимы с математическими объектами и отношениями), они имеют направленность на изучение математики с помощью ее приложений. Проиллюстрируем рассмотренное положение примерами. Следующая задача мотивирует введение понятия центральной симметрии.

Игра в монеты. Двое по очереди кладут на лист бумаги прямоугольной формы пятикопеечные монеты. Монеты можно класть

170

только на свободные места, т.е. так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти. Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монеты начинающий игру, чтобы выиграть?

Учитель для поиска выигрышной стратегии предлагает учащимся

ОМ, но по другую сторону от точки О (рис. 21). Точки М и М1 называют симметричными относительно точки О, которую называют центром симметрии.

Далее учитель сообщает учащимся о том, что понятие центральной симметрии позволяет найти выигрышную стратегию в этой игре (мотивирует изучение этого понятия) и предлагает сделать это вначале самостоятельно. При необходимости учитель помогает учащимся сформулировать выигрышную стратегию, которая состоит в следующем. Начинающий игру должен положить монету на центр бумажного листа. В дальнейшем он кладет свою монету каждый раз, как бы повторяя ходы второго игрока, но с противоположной стороны относительно монеты, с которой была начата игра. Это он всегда сможет сделать после каждого хода второго игрока. Поэтому именно начинающий сделает последний ход в этой игре и, следовательно, выиграет.

Таким образом, на языке геометрии стратегия начинающего игру заключается в том, что первым ходом определяется центр симметрии. В дальнейшем первый играющий кладет свою монету каждый раз симметрично относительно центра стола монете, положенной вторым

171

играющим. Мотивом изучения учащимися нового понятия в данном случае является интерес к поиску выигрышной стратегии игры.

172

На примере следующей задачи покажем, как можно мотивировать изучение осевой симметрии.

 Закончите изображение древнегреческой амфоры, изображенной на рис. 22а, действуя следующим образом: перегните лист бумаги так, чтобы на одной его половине осталось изображение части амфоры, а другая половина оказалась чистой (линия сгиба показана пунктиром на рис. 22b). С помощью булавки, делая проколы по контуру рисунка, перенесите данное изображение на чистую половину листа бумаги. Развернув его в исходное положение и соединив линиями точки проколов, получите полное изображение амфоры, рис. 22с.

Установите правило, пользуясь которым можно завершить данное изображение без перегибания листа бумаги.

При решении задачи учитель помогает учащимся сформулировать следующее правило: каждой точке М имеющегося изображения сопоставить точку М1 так, чтобы прямая, по которой был перегнут лист бумаги, проходила через середину отрезка ММ1 и была к нему перпендикулярна.

В этом примере мотивом для введения понятия осевой симметрии рис.8а служит возможность объяснения произведенных учащимися действий с

помощью геометрии.

Задача об измерении высоты столба предваряет введение понятия

173

тангенса угла.

Как измерить высоту столба (вышки или мачты) по длине тени?

Впроцессе решения этой задачи учитель мотивирует необходимость введения нового понятия, опираясь на понятия, уже известные школьникам. Учащиеся вместе с учителем проводят следующие рассуждения. Предположим, что угол, под которым виден предмет из точки на конце его тени, может быть измерен (рис. 23). Получим такую геометрическую

задачу:

Найти катет ВС=а прямоугольного треугольника, зная его катет АС=b и угол А.

Решение подобных задач хорошо известно учащимся. Они знают,

отношение двух функций угла А – синуса и косинуса. Учитель далее

рис.19 сообщает учащимся, что это отношение очень часто встречается при решении самых разнообразных задач. Поэтому его рассматривают как ее

одну функцию угла – тангенс. Далее учитель вместе со школьниками делает следующий вывод: тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

II. Усвоение понятий

По мнению Я.И. Груденова143, на этом этапе учащиеся должны уметь применять изученные на предыдущем этапе определения, аксиомы, теоремы. Считаем, что для этого целесообразно использовать задачи на

143 Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с

174

распознавание и применение понятия. Эти задачи способствуют первичному закреплению введенного понятия, т.к. для их решения, как правило, учащимся достаточно использовать только что изученный материал, например, только определение понятия или его основные свойства. Такие задачи, как правило, не усложнены необходимостью применения других нововведенных фактов: определений, теорем, формул и т.д. Здесь целесообразно использовать задачи на приложения первого или второго уровня сложности. Проиллюстрируем рассмотренное положение примерами. Приведем пример задачи на распознавание понятия развернутого угла.

 Прежде чем пользоваться чертежным треугольником для проведения перпендикуляров, мы хотим убедиться, что он имеет прямой угол. Как это сделать?

Предположим, что учащимися только что изучено понятие развернутого угла. Для распознавания этого понятия и его первичного закрепления при решении задачи им необходимо воспользоваться хорошо

бумаги дважды так, как показано на рис. 24. Если стороны прямых углов на полученном чертеже лежат на одной прямой АВ (являются дополнительными полупрямыми одной прямой АВ), т.е. получен развернутый угол, то чертежный треугольник правильный.

Приведем еще ряд задач на распознавание и применение понятий, которые разделены Л.М. Лоповком на две группы: 1) «на объяснение некоторого реального явления»; 2) «на применение понятий в различных

175

областях практической деятельности человека».144 1) Задачи на объяснение некоторого реального явления.

Почему мотоцикл с коляской стоит на дороге устойчиво, а для мотоцикла без коляски необходима дополнительная опора?

Почему бетонные плиты, которыми мостят дорогу, изготавливают только в форме правильных шестиугольников или квадратов?

Почему в садовой калитке всегда прибивают диагональную

планку?

Почему листы жести на крыше «сшивают» по направлениям, перпендикулярным к гребню крыши?

2) Задачи на применение понятий в различных областях практической деятельности человека.

Как используется признак параллельности плоскостей при устройстве пола?

Как используются аксиомы плоскости при разбивке котлована под фундамент дома?

III. Закрепление понятий

По утверждению Я.И. Груденова, закрепление понятий заключается

вповторении их определений, теорем, связанных с этими понятиями и отработке навыков их применения к решению задач145. На этом этапе целесообразно использовать задачи на включение нового понятия в систему известных. Эти задачи способствуют осмысленному применению и длительному сохранению в памяти учащихся содержания пройденного материала, а также могут быть использованы для повторения отдельных глав или целого курса. Уровень сложности задач на приложения в этом случае выбирается в зависимости от цели урока и подготовленности учащихся к решению таких задач. Проиллюстрируем примером.

144Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. Пособие для учителя. / Под ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967. - 271 с.

145Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с

176

177