приложения математики.

12.Кратко опишите особенности этапов реализации линии ППМ.

13.Подберите примеры задач на приложения математики четырех уровней сложности.

14.Составьте несколько (не менее трех) задач на приложения математики по следующей содержательной модели реальной ситуации: необходимо вычислить диаметр некоторого реального объекта.

15.Представьте на схеме взаимосвязи основных структурных компонентов линии ППМ.

16.Приведите примеры задач, с помощью которых возможно сформировать конкретные прикладные умения у школьников. Дайте методическое обоснование такой возможности.

Раздел III. Задачи в практико-ориентированном обучении математике в школе

Тема 1.Понятие и особенности школьных задач на приложения математики

Средства обучения практическим приложениям математики, понятие учебной прикладной задачи по Н.А. Терешину, различия между текстовой сюжетной и прикладной задачей

Кзадачам на приложения математики, естественно отнести задачи, в содержании которых отражены практические приложения школьного курса математики.

Косновным средствам обучения практическим приложениям математики в школе относят:

практические и лабораторные работы, направленные на наблюдение и выделение математических закономерностей в окружающей природе;

компьютерные программы, позволяющие моделировать реальные процессы и объекты, обрабатывать информацию о них;

111

лекции, краткие информационные сообщения, беседы о методах использования математического аппарата в других науках и производственной деятельности эвристического или репродуктивного (понимание объяснений учителя учеником и осознанное усвоение ими знаний) характера;

учебные исследования и проекты с прикладным содержанием;

курсы по выбору и элективные курсы, отражающие прикладные аспекты математики.

В основу всех перечисленных средств положены задачи, отражающие реальные ситуации применения математической теории на практике. Такие задачи в науке принято называть прикладными, а в школьном курсе математики различными авторами они называются

практическими, практико-ориентированными, контекстными, прикладными и т.п. На практике прикладная задача возникает из реальной ситуации, которая носит проблемный характер, т.е. требует выполнения каких-либо действий с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели неизвестен. Прикладная задача является содержательной моделью этой ситуации, отражающая те ее стороны, которые необходимы для разрешения поставленной проблемы. В прикладной задаче в отличие от реальной ситуации, выделены исходные данные и сформулировано то, что необходимо найти, установить.

В методике обучения математике наиболее известным определением учебной прикладной задачи является следующее. Под прикладной задачей (задачей прикладного характера, с прикладным содержанием) понимают задачу, «поставленную вне математики и решаемую математическими средствами»106. Данное определение носит довольно общий характер и может быть использовано как в науке математике, так и в школьной практике. Однако, между школьной задачей с прикладным содержанием и научной прикладной проблемой имеются очевидные различия, которые

106 Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

112

состоят: в целях решения задач; в способах достижения результата; в уровне сложности применяемого математического аппарата. Но у них есть и общие черты, которые позволяют подготовить школьников к использованию математики в реальных условиях. Это применяемый для решения таких задач метод математического моделирования; отражение реальной ситуации в содержательной модели; требования к выбору математической модели.

Учебная прикладная задача – один из довольно сложных и неоднозначных в методическом смысле объектов. Этот вид задач служит двум основным целям, отражающим бинарное назначение практических приложений математики в обучении: с одной стороны, с помощью таких задач происходит обучение математике через ее приложения, с другой – имеется возможность обучать приложениям математики.

Наш анализ показывает, что термин «прикладная задача» в связи с учебным характером школьных задач не совсем точен. В ряде методической литературе встречается термин «практическая задача» или «задача с практическим содержанием», под которым подразумевается установление посредством фабульной окраски связи теории с практикой. Однако этот термин в теории и методике обучения математике имеет не единственное значение и часто используется в другом контексте. Например, разделяя учебный материал на теоретический и практический, традиционно, имеется в виду применение теории к решению математических задач.

Поэтому задачи, обеспечивающие практико-ориентированное обучение, которые, по сути, являются учебными прикладными математическими задачами - задачами, связанными с практическими приложениями математики. Определим их следующим образом. Задача, связанная с практическими приложениями математики (задача на приложения107), - это задача, представляющая собой содержательную

107 Для краткости, будем в тексте называть задачи, связанные с приложениями математики, задачами на приложения.

113

модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики. Из этого следует, что:

содержание условия задачи на приложения ограничивается содержанием школьных дисциплин (математических и нематематических)

ижизненным опытом учащихся;

учебный характер задачи на приложения выражен в ее соответствии ряду известным дидактическим целям, поставленным перед школьными математическими задачами (подготовка к изучению теоретических вопросов, закрепление приобретенных теоретических знаний, формирование умений и навыков, контроль над усвоением математических знаний);108

задача на приложения является сюжетной (текстовой) задачей. Последний вывод требует аргументации. Под текстовыми задачами

понимают задачи, в которых описан некоторый сюжет с целью нахождения определенных количественных характеристик.109 В связи с этим их часто называют еще сюжетными. Это старейший вид задач, использовавшийся в обучении «для упражнений мышления ученика, для вывода математических правил и для упражнения в приложении этих правил в решении частных практических вопросов».110

Первые две функции текстовых задач сохранились и до наших дней, а что касается третьей (приложение математики к решению практических вопросов), то традиционные задачи на покупку и продажу, совместную работу, движение и т.п. сегодня не имеют для приобретения жизненного опыта такого значения, как, скажем, в ХIХ веке. Кроме того, подавляющее большинство таких задач, применяемых в школьном обучении, носит искусственный характер, отдаленный от реальной действительности. И

108Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пос. для студ. физ.-мат. фак. пед. инст. /Колягин Ю.М. и др. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

109Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Уч. пос. для учит. и ст. педвузов и колледжей. - М.: Шк. Пресса, 2002. - 208 с.

110Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. - Спб., 1876. - 98 с

114

лишь довольно небольшая часть текстовых задач, содержание которых наиболее достоверно отражает приложения математики, и может быть приближена, по сути, к прикладным задачам, решаемым в научной и производственной практике.

Грань между задачей с прикладным содержанием и традиционно понимаемой текстовой задачей проведем следующим образом. И текстовая задача, и задача на приложения – фабульные, изложены на естественном языке и требуют построения математической модели. Ознакомление учащихся с сущностью и практикой математического моделирования является главной целью использования этих видов задач в обучении математике. Однако, чем больше содержательная модель описанной в задаче ситуации, будет «очищена» от реальности, чем выше степень ее идеализации и схематизации, тем меньше в такой задаче прикладной направленности. Кроме того, в прикладной задаче, даже учебной, важна сама ее постановка: условие и формулировка вопроса должны быть связаны с анализом реального объекта с заданной целью.

Проиллюстрируем выявленные различия на примерах. Определим, какая из следующих задач ближе к текстовым, а какая к прикладным.

1.С ветки дерева одновременно взлетели три птицы. В какой момент они окажутся в одной плоскости?

2.Почему на проезжей части крышки люков имеют круглую, а не квадратную форму?

В сюжете первой задачи реальные объекты (дерево, птицы) составляют лишь терминологический фон. Рассмотренная в задаче ситуация искусственна, ее анализ не обогащает знаний учащихся о закономерностях реального мира, а сама задача призвана закрепить понятие плоскости. Поэтому первую задачу следует отнести к текстовым. Во второй задаче имеется реальный объект (крышка люка), и полученные знания о нем имеют применение на практике. Эту задачу отнесем к прикладным.

115

Возможность выбора фабулы для учебных прикладных задач ограничена рамками содержания школьного курса математики. Подбор приложений математики, которые бы показали существенную роль математики в исследовании реальности, в решении известных проблем естествознания затруднен в связи с тем, что для их понимания знания элементарной математики очень часто недостаточно. Кроме этого, хорошо известно, что изучение математической теории и развитие умения пользоваться ею для решения чисто математических задач традиционно занимает большую часть времени, отводимого на математику в школе.

Обучение школьников использованию математического аппарата в решении задач на приложения почти тождественно обучению методу математического моделирования. Выделим наиболее важные характерные

особенности процесса применения математики к исследованию реальных объектов, т.е. особенности задач на приложения, которые должны составить математическую грамотность школьников в этом вопросе и с которыми должны быть знакомы учителя математики. Эти особенности тесно связаны с основными этапами математического моделирования.

1.При переходе от условия прикладной задачи к строгой математической модели используются не доказательные, а правдоподобные рассуждения. Это, например, рассуждения по аналогии, использование понятий вне рамок их первоначального определения, использование результатов приближенного решения.

2.Уровень строгости и полноты математического исследования согласуется со смыслом исходной ситуации, т.е. с реальным смыслом величин, входящих в условие задачи.

3.Выбор математического аппарата (метода) для решения задачи осуществляется на основе ряда критериев. Решение реальной задачи должно быть не только правильным, но и экономным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования (требование рациональности).

116