18_konspekt

Доказательство. В силу определения равносоставленности имеют место следующие разложения:

A=A₁+A₂+...+A_n, B=B₁+B₂+...+B_n, и B=B₁+B₂+...+B_m, C=C₁+C₂+...+C_m, (24.1)

где A₁B₁, A₂B₂, .., A_nB_n и B₁С₁, B₂С₂, .., B_mС_m. “Измельчим” разложения многоугольника B на многоугольники B₁, B₂, ..., B_n и B₁, B₂, ..., B_m, взяв всевозможные попарные пересечения: D_ij=B_iB_j, для каждого i=1,..., n и j=1,...., m (рис. 107). При этом среди полученных частей D_ij могут оказаться пустые множества или отрезки. Можно исключить такие множества из рассмотрения, но проще считать их здесь (вырожденными) многоугольниками, к недоразумениям это не приведет. С другой стороны нетрудно видеть, что каждое D_ij, отличное от пустого множества или отрезка, является многоугольником, поскольку пересечение двух треугольников, имеющих общие внутренние точки, является многоугольником.

О чевидно, что D_ij и D_rs не имеют общих внутренних точек при ir или js, поскольку, как различные многоугольники B_i, так и различные B’_j, не имеют общих внутренних точек. Объединение же всех D_ij равно B, т. к. . Таким образом, многоугольник B составлен из многоугольников D_ij

. (24.2)

Покажем, что из частей, конгруэнтных D_ij, можно составить как многоугольник A, так и - B. В силу определения конгруэнтных фигур найдутся движения f₁, f₂,..., f_n и g₁, g₂,..., g_m, для которых f₁(A₁)=B₁, f₂(A₂)=B₂, .., f_n(A_n)=B_n и g₁(B₁)=С₁, g₂(B₂)=С₂,..., g_m(B_m)=С_m. С помощью движений f₁, f₂,..., f_n и g₁, g₂,..., g_m “перенесем” многоугольники D_ij на многоугольники A и C. Для любых значений i=1,..., n и j=1,...., m положим и . В силу справедливости разложений (24.1) и (24.2), имеют место разложения и , причем при любых i и j имеем E_ijF_ij, поскольку . Таким образом, многоугольники A и C равносоставлены. Лемма доказана.

Следующая лемма устанавливает эквивалентность отношений равновеликости и равноставленности для прямоугольников.

Лемма 24.3. Любые равновеликие прямоугольники равносоставлены.

Доказательство. Пусть имеются два равновеликих прямоугольника ABCD, ABCD со сторонами AB=a, AD=b и AB=a, AD=b. Так как ихз площади равны между собой, то ab=ab. Положим, для определенности, что a>a и b>b. Без ограничения общности можно считать, что прямые углы при вершинах A и A совмещены так, как показано на рисунке 108. Возможны следующие два случая: отрезок DB пересекает прямоугольник ABHD и отрезок DB не пересекает прямоугольник ABHD.

Рассмотрим первый случай. Обозначим точку пересечения отрезков ВС и CD через Н, отрезков ВС и ВD через Е, а отрезков DC и BD через F (см. рис. 108). В этом случае прямоугольник ABCD разложен на пятиугольник ABEFD и треугольники DDF и CDE, а прямоугольник ABCD - на тот же пятиугольник ABEFD и треугольники BBE и BCF. Покажем, что треугольник DDF равен треугольнику BBE, а треугольник CDE - треугольнику BCF, откуда и будет следовать справедливость утверждения леммы в рассматриваемом случае. Нетрудно видеть, что прямые DB, DB и CC параллельны между собой. Действительно, из равенства ab=ab следует, что или . Поэтому треугольники ADB и ADB подобны друг другу, откуда вытекает, что прямые DB и DB параллельны друг другу. Далее, HC=BB=a-a, HC=DD=b-b. Из равенства ab=ab получим: , следовательно, прямые CC и DB также параллельны между собой. Из параллельности прямых DB, DB и CC имеем равенства отрезков: BB=DF, DD=EB, и DC=FC и CE=CB, доказывающие конгруэнтность прямоугольных треугольников DDF и BBE, DCE и BBF из чего и следует справедливость утверждения леммы в рассматриваемом случае.

Во втором случае DB не пересекает прямоугольник ABHD. Пусть точка В - середина отрезка АВ. Отразим отрезок АВ симметрично относительно прямой DC (рис. 109). Получим прямоугольник ABCD, на рисунке 109 точка А совпадает с точкой А, отрезки ВС и CD изображены пунктирной линией. Очевидно, полученный прямоугольник равносоставлен с прямоугольником ABCD. Будем повторять это действие n раз, пока прямая В⁽ⁿ⁾D не будет пересекать прямоугольник ABHD⁽ⁿ⁾. Но прямоугольник A⁽ⁿ⁾B⁽ⁿ⁾C⁽ⁿ⁾D⁽ⁿ⁾ равносоставлен в силу леммы 24.2 с прямоугольником ABCD, а из доказанного первого случая рассматриваемого утверждения, следует, что он равносоставлен с прямоугольником ABCD. Воспользовавшись еще раз леммой 24.2, получим, что прямоугольники ABCD ABCD также равносоставлены. Лемма доказана полностью.

Следующее предложение распространяет утверждение леммы 24.1 на произвольные многоугольники.

Лемма 24.4. Любой многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.

Доказательство. Пусть A - произвольный многоугольник. Используя приведенные выше леммы, покажем, что многоугольник A равносоставлен с некоторым прямоугольником P. Возьмем произвольное разложение многоугольника A на треугольники: A=A₁+A₂+...+A_n. Из утверждения леммы 24.1 следует, что любой из этих треугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником: A₁P₁, A₂P₂,...,A_nP_n, где P₁, P₂,..., P_n - некоторые прямоугольники, причем, в силу леммы 24.1, s(A)=s(A₁)+s(A₂)+...+s(A_n)=s(P₁)+s(P₂)+...+s(P_n). Таким образом, по определению, многоугольник A равносоставлен с некоторым многоугольником M=P₁+P₂+...+P_n, который в свою очередь составлен из прямоугольников P₁, P₂,..., P_n. В силу леммы 24.3, каждый из прямоугольников P_i равносоставлен с прямоугольником P_i, стороны которого равны 1 и s(P_i), т. к. s(P_i)=s(P_i) при всех i=1,..., n.

Прикладывая последовательно прямоугольники P₁, P₂,..., P_n один к другому общей стороной, равной 1 (рис. 110), получим прямоугольник P=P₁+P₂+....+P_n, со сторонами 1 и площадью s(A). Прямоугольник P равновелик с прямоугольником M=P₁+P₂+...+P_n. Но многоугольники A и M равносоставлены, поэтому из леммы 24.2 следует, что, многоугольник A равносоставлен с прямоугольником P. Лемма доказана.

Доказанные утверждения позволяют без труда доказать вышеупомянутое утверждение Бояи-Гервина.

Теорема 24.5 (Теорема Бойяи-Гервин). Любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными.

Доказательство. Пусть имеются два произвольных равновеликих многоугольника A и B. В силу леммы 24.4 найдутся прямоугольники P и Q, для которых справедливы отношения AP и BQ. Но тогда s(P)=s(A) и s(B)=s(Q), но по условию теоремы s(A)=s(B), откуда s(P)=s(Q). Из последнего равенства, в силу леммы 13.3, имеем отношение PQ, и стало быть AB, в силу леммы 24.2. Теорема доказана.

При выводе формул для вычисления площадей многоугольников в школьном курсе геометрии, наряду с методом разбиения многоугольников на попарно равные, применяется и так называемый метод дополнения. Назовем два многоугольника A и B равнодополняемыми в случае, когда найдутся попарно конгруэнтные многоугольники такие, что и . Ясно, что равнодополняемые многоугольники имеют одинаковые площади. Для них справедливо утверждение, аналогичное теореме Бояи –Гервина, в формулировке которой термин “равносоставленные” заменен термином “равнодополняемые”.

В заключение параграфа коротко обсудим пути подхода к определению объема многогранника в евклидовом пространстве. При изложении теории объема многогранников целесообразно принять определение многогранника, аналогичное принятому выше определению 23.1 плоского многоугольника. Вместо треугольника естественно взять его трехмерный аналог - тетраэдр (треугольную пирамиду) и считать многогранником произвольное объединение конечного числа попарно не имеющих общих внутренних точек тетраэдров. Определение и обозначение разложения многогранника на многогранники аналогичны соответствующим определению и обозначению для многоугольника. Таким образом, запись M=M₁+M₂+...+M_n означает, что многогранник M составлен из (разложен на) многогранников M₁, M₂, ..., M_n.

Определение объема многогранника v(M) дословно повторяет определение 23.2, с заменой термина “многоугольник” на термин “многогранник”. В формулировке аксиомы 4 в качестве многогранника, имеющего объем равный 1, вместо квадрата естественно взять единичный куб. Справедлива следующая теорема о существовании и единственности объема многогранника.

Теорема 24.6 (Теорема существование и единственность объема многогранника). Существует единственное отображения s: множества многогранников на множество действительных чисел, удовлетворяющего аксиомам объема.

Не приводя доказательства этой теоремы, отметим лишь, что оно следует из справедливости аналогов всех, приведенных в §23 лемм с очевидными заменами терминов: “прямоугольник” на “прямоугольный параллелепипед”, “треугольник” на “тетраэдр” и т. п., а также изменениями соответствующих формул. Доказательства этих лемм для многогранников также аналогичны приведенным в §23 для случая плоских многоугольников, за одним существенным исключением - доказательства аналога леммы 23.3. Остановимся на этом вопросе более подробно, т. к. он имеет непосредственное отношение к выводу формулы объема тетраэдра в школьном курсе стереометрии.

Аналог леммы 23.3 можно сформулировать так: объем тетраэдра (треугольной пирамиды) равен одной трети произведения площади основания на высоту. При выводе формулы площади треугольника (лемма 23.3) используется тот факт, что произвольный треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. Естественно поставить вопрос: нельзя ли получить аналогичным способом формулу для вычисления объем тетраэдра, точнее, не является ли произвольный тетраэдр равносоставленным с некоторым прямоугольным параллелепипедом⁷?

Этот вопрос в течение нескольких десятилетий 19 века оставался открытым. За это время были найдены примеры тетраэдров, равносоставленных с кубом того же объема, однако для произвольных тетраэдров соответствующих разложений найти не удавалось. Неудачи этих поисков привели к гипотезе о том, что произвольный тетраэдр, в частности правильный, не равносоставлен с равновеликим кубом. В 1900 году на Парижском математическом конгрессе Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, должны были определять основные направления развития математики в 20 века. Третьей в этом списке была поставлена проблема доказательства неравносоставленности куба и правильного тетраэдра, имеющих равные объемы⁸.

Положительное решение поставленной проблемы было получено в 1900 году М. Деном. Из полученных М. Деном результатов вытекало следующее утверждение.

Теорема 24.7. Если многогранники A и B являются равносоставленными (или равнодополняемыми), то найдутся натуральные числа , такие, что имеет место равенство: , где и - величины всех двугранных углов многогранников A и B соответственно⁹.

Пользуясь приведенной теоремой можно получить решение третьей проблемы Гильберта, а именно доказать, что правильный тетраэдр не равносоставлен (не равнодополняем) с равновеликим ему кубом. Не приводя доказательства этой теоремы, наметим лишь его основную идею. Обозначим через  двугранный угол правильного тетраэдра. Двугранные углы куба, очевидно, равны . Если бы правильный тетраэдр был равносоставлен (или равнодополняем) с кубом то, в силу теоремы 24.7, нашлись бы натуральные числа n, m и k, для которых было бы справедливо равенство , откуда следовало бы, что - некоторое рациональное число. Нетрудно найти, что , можно показать, что отношение есть число иррациональное и, поэтому правильный тетраэдр не равносоставлен (и не равнодополняем) с кубом.

Таким образом, если для вывода формулы площади треугольника можно использовать наглядную и доступную для школьников 7-8 классов равносоставленность треугольника с прямоугольником, то в пространстве таких наглядных конструкций для вывода формулы объема пирамиды не существует. И потому любой вывод этой формулы обязательно должен использовать ту или иную форму предельного перехода, что требует от учащихся знакомства с теориями пределов или интегрирования.

1 Наполним, что многоугольник M и N называются конгруэнтными, если существует движение  такое, что (M)=N.

2 Очевидно, что утверждение, аналогичное утверждению аксиомы имеет место и в том случае, когда данный многоугольник составлен из произвольного конечного числа многоугольников, что несложно вывести индукцией по числу многоугольников разложения.

3 Единичный квадрат - это фиксированный квадрат, сторона которого равна единичному отрезку.

4 В силу леммы 12.3 значение s(T) не зависит от выбора двух из трех сторон треугольника.

5 Т. к. , а

6Ф. Бояи - отец Я. Бойяи, который независимо от Н. И. Лобачевского открыл неевклидову геометрию.

7 Можно показать, что любые равновеликие (не обязательно прямоугольные) параллелепипеды являются равносоставленными. Доказательство справедливости этого утверждения опирается на конструкции, аналогичные приведенным при доказательстве леммы 23.3.

8 Мы приводим краткую формулировку третьей проблемы Гильберта, в его докладе сделан содержательный анализ этой проблемы.

9 Эта теорема была “доказана” в работе Р. Брикара в 1896 году, однако данное Брикаром доказательство содержало неустранимую ошибку.