Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

А.В. Баскаков, Е.В. Сумин

Интегралы, зависящие от параметра

Учебно-методическое пособие

Москва 2013

1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

Пусть Y \n , ψ( y) и ϕ( y) – две вещественные функции, опре-

ϕ( y)

называются интегралами, зависящими от параметра, а переменная y Y называется параметром, например:

y

1) Φ( y) = ∫( y − x)10 dx , где Y ={y : y ≥ 0} \; ϕ( y) ≡ 0 ,

0

ψ( y) ≡ y , f (x, y) =( y − x)10 ;

2) Φ(a, b) = ∫1 sin ax e−bx dx , где

0

Y ={(a, b); −∞< a < +∞; −∞ <b < +∞} = \2 ,

ϕ(a, b) ≡ 0 , ψ(a, b) ≡1 ,

f (x, y) = F(x, a, b) =sin ax e−bx .

Если при всяком фиксированном y Y интеграл (1.2) существу-

ет как собственный интеграл Римана, то (1.2) называется собственным интегралом, зависящим от параметра.

Рассмотрим случай, когда множество Y представляет собой от-

3

Теорема 1.1. Если функция f (x, y) непрерывна на замыкании G области G, то функция Φ( y) , задаваемая формулой (1.2), непрерывна на отрезке [α, β] .

Доказательство. Прежде всего заметим, что в условиях теоремы функция Φ( y) корректно определена при всяком y [α, β] ,

поскольку функция, непрерывная на отрезке, интегрируема по Риману на этом отрезке. Заменой переменной x на t по формуле

формулой (1.4), также непрерывна, то подынтегральная функция в (1.5), которую для краткости обозначим g(t, y) :

g(t, y) = f (ϕ( y) +[ψ( y) −ϕ( y)] t, y) [ψ( y) −ϕ( y)] ,

является непрерывной функцией на замкнутом прямоугольнике

P ={(t, y) : 0 ≤ t ≤1, α ≤ y ≤β} .

Это следует из теоремы о суперпозиции непрерывных функций ([1], с. 259); более того, g(t, y) является равномерно непрерывной

по теореме Г. Кантора ([1], с. 268).

Возьмем произвольное ε > 0 . В силу равномерной непрерывно-

4

что в силу произвольности ε , и означает непрерывность функции Φ( y) во всякой точке y [α, β] .

Теорема доказана.

Следствие. В условиях теоремы имеет место соотношение

Действительно, предел в левой части этого равенства есть по доказанному Φ( y0 ) , а правая часть в силу непрерывности функций ϕ,

ψ и f также равна

ψ( y0 )

f(x, y0 ) dx = Φ( y0 ) .

ϕ( y0 )∫

Замечание. При доказательстве теоремы 1.1 можно было бы обойтись без замены переменной (1.4), оценив разность

Φ( y + y) −Φ( y) непосредственно из формулы (1.2) и воспользовавшись при этом равномерной непрерывностью на [α, β] функций ϕ( y) и ψ( y) и равномерной непрерывностью на G функции

f(x, y) . Однако замена (1.4) значительно сокращает выкладки. Теорема 1.2. Пусть функция f (x, y) при всяком фиксирован-

5

Доказательство. Рассмотрим какую-либо последовательность yn Y , n = 1, 2, …, сходящуюся к y0 . Поскольку по условию тео-

имеем:

g(x + x) − g(x) =

= g(x + x) − fn (x + x) + fn (x + x) − fn (x) + fn (x) − g(x) ≤ ≤ g(x + x) − fn (x + x) + fn (x + x) − fn (x) +

+ fn (x) − g(x) < ε + ε+ ε = 3ε.

Отсюда следует, что g(x) интегрируема на [a, b] (поскольку по

условию −∞ < a < b < +∞ ). Для доказательства соотношения (1.7) фиксируем произвольное число ε > 0 . Через N = N (ε) обозначим

такое натуральное число, что при всех n > N неравенство

bε

≤∫a fn (x) − g(x) dx < b − a (b − a) = ε .

Полученная оценка показывает, что для последовательности yn Y , n = 1, 2, 3, …, выбранной в начале доказательства теоремы,

имеет место соотношение

6

Теперь в силу произвольности yn Y , n = 1, 2, … (лишь бы yn → y0 при n →∞) из (1.8) вытекает (1.7). Что и требовалось до-

казать.

Замечание. Сохраняя идею доказательства, можно дать формулировку аналога теоремы 1.2 для случая, когда ϕ( y) и ψ( y) не

обязательно являются константами.

Перейдем к вопросу об интегрировании по параметру интегра-

лов (1.2).

Теорема 1.3. Пусть область G \2 элементарна относительно обеих осей координат:

G={(x, y) : α < y <β; ϕ( y) < x < ψ( y)} =

={(x, y) : a < x < b; ϕ1 (x) < y < ψ1 (x)} ,

где функции ϕ( y) и ψ( y) непрерывны на [α, β] , −∞ < α <β< +∞, а функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) непрерывны на [a, b] , −∞ < a < b < +∞ . То-

Доказательство следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному ([1], с. 516).

Перейдем к вопросу о дифференцировании интегралов (1.2) по параметру. Пусть сначала ϕ( y) ≡ a , ψ( y) ≡ b , −∞ < a < b < +∞ .

Теорема 1.4. Если функция f (x, y) и ее частная производная

∂f (x, y) непрерывны на замкнутом прямоугольнике

∂y

7

нечных приращений Лагранжа ([1], с. 170), по переменной y к

8

Следовательно, при 0 <θ(x, y) <1 будет иметь место такое соотношение

что и доказывает теорему.

Следствие. Если дополнительно к условиям теоремы непрерывно дифференцируемые на [α, β] функции ϕ( y) и ψ( y) таковы,

что a ≤ ϕ( y) ≤ ψ( y) ≤b , то

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции

F( y, u, υ) = υ∫ f (x, y) dx , u = ϕ( y) , υ = ψ( y)

u

имеем

dFdy = ∂∂Fy + ∂∂Fu dudy + ∂∂Fυ ddyυ ,

что и дает с учетом уже доказанного соотношения (1.10) формулу

(1.11).

9

Заметим, что условие a ≤ ϕ( y) ≤ ψ( y) ≤b понадобилось для того, чтобы суперпозиция F( y, u, υ) была корректно определена (с целью последующей ссылки на теорему 1.4). Следствие доказано.

2.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

Будем рассматривать интегралы вида

венствам −∞ ≤ a <b ≤ +∞.

Определение 2.1. Если интеграл (2.1) при некоторых (в частности, при всех) значениях y Y существует как несобственный ин-

теграл Римана, то он называется несобственным интегралом, зависящим от параметра.

Определение 2.2. Если для всякого y0 Y интеграл

Φ( y 0 ) = ∫b f (x, y0 ) dx

a

сходится, то интеграл (2.1) называется сходящимся на множестве Y. В предыдущем разделе для собственных интегралов, зависящих от параметра, были получены теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла, а также об изменении порядка интегрирования. Нашей ближайшей целью является получение аналогов этих теорем для несобственных интегралов, зависящих от параметра. Для этого введем понятие равномерной сходимости интеграла по параметру. Для определенности будем далее всюду в этом раз-

деле предполагать выполненными следующие условия:

10