Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013
.pdf
|
|
α+1 |
|
β+1 |
= 1 |
Γ |
|
Γ |
|
|
2 |
|
2 . |
2Γ α +β +1
2
Пример 4.9. Вычислить J = ∫π sin2m x dx .
0
Представим этот интеграл как
|
π/ 2 |
π |
|
J = |
∫ |
+ ∫ |
sin2m x dx |
|
0 |
π/ 2 |
|
и подстановкой x = π−t сведем второй интеграл к первому. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ sin |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
J = 2 |
|
|
x dx = B |
m |
+ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Γ m + |
|
|
Γ |
|
|
|
|
m − |
|
|
|
|
|
m |
− |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
2 |
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
Γ(m +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(2m −1)!! |
|
π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
xm−1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 4.10. Вычислить J = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
n > 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1 + x |
n |
) |
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Выполнив замену переменной t = |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
x |
= |
|
1 −t 1/ n |
, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x |
n |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
m |
|
−1 |
|
p− |
m |
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
J = |
|
|
(1 −t) n |
|
|
|
|
t |
|
|
n |
|
dt = |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
, p − |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Γ |
|
|
|
|
|
Γ p − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Γ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
Интеграл сходится при m > 0 , |
p − |
m |
> 0 , т.е. при 0 < m < np . |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
||||
Пример 4.11. Вычислить J = +∞∫ |
|
x p−1 ln x |
dx . |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
1 + x |
|
|
||
Рассмотрим F ( p) = +∞∫ |
x p−1 |
dx – частный случай интеграла, изу- |
|||||||
1 + x |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ченного в задаче 4.10. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
F ( p) = B( p, 1 − p) = Γ( p) Γ(1 − p) = |
x |
. |
|||||||
sin πp |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл F ( p) сходится при 0 < p <1 и допускает дифференцирование по p под знаком интеграла (в области 0 < ε ≤ p ≤1 −ε <1 он сходится равномерно). Поэтому
J = |
dF |
|
= |
d |
|
π |
|
|
|
|
= − |
|
π2 |
cos πp . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dp |
|
dp |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
πp |
||||||||||||||||
|
|
|
|
sin πp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
cosbx |
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 4.12. Вычислить J = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
b > 0 , 0 < s <1 . |
||||||||||||||||||
|
x |
s |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Положив в интеграле (4.8) |
x = |
|
|
|
y |
|
|
, преобразуем его к виду |
|||||||||||||||||||
1 + y |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
y |
p−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
B( p, q) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy , |
(4.9) |
|||||||||||||||
|
(1 + y) |
p+q |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
который можно принять за еще одно определение B-функции. Не- |
|||||||||||||||||||||||||||
трудно проверить, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
+∞∫ zs−1 e−zx dz . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
s |
|
Γ(s) |
|
||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J = |
1 |
|
|
|
+∞∫cosbx dx +∞∫ zs−1 e−zx dz . |
||||||||||||||||||||||
Γ(s) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
42
Изменив порядок интегрирования, получим
|
1 |
+∞ |
|
s−1 |
+∞ |
−zx |
|
1 |
+∞ |
zs dz |
|
|
||
J = |
|
∫ |
z |
|
dz ∫e |
|
cosbx dx = |
|
∫ |
|
|
|
|
. |
Γ(s) |
|
|
Γ(s) |
z |
2 |
+b |
2 |
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Выполнив замену переменной z = b t и воспользовавшись формулой (4.9), найдем:
|
|
|
|
|
|
bs−1 |
+∞∫ |
|
t |
s−1 |
|
|
|
|
bs−1 |
|
||||||||
|
|
J = |
|
2 |
|
|
dt = |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2Γ(s) 0 |
1 +t |
|
|
|
|
2Γ(s) |
||||||||||||
|
bs−1 |
s +1 |
|
s +1 |
|
|
bs−1 |
|
|
|||||||||||||||
= |
|
Γ |
|
|
|
|
|
Γ |
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
2Γ(s) |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2Γ(s) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично вычисляется интеграл |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
sin bx |
|
|
|
|
|
|
|
πbs−1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
x |
s |
|
|
2Γ(s) sin |
πs |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s +1 |
|
1 − s |
|
||||
B |
|
, |
|
|
|
= |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
π |
|
= |
πbs−1 |
|
. |
|
s +1 |
|
2Γ(s) cos |
πs |
||||
sin |
|
|
π |
2 |
|
||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b > 0 , 0 < s < 2 .
5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Собственные интегралы, зависящие от параметра
Найти следующие пределы.
|
1+α |
dx |
|
|
|
|
|
||||
1. |
limα→0 ∫ |
|
|
|
|
. |
|||||
1 + x |
2 |
+α |
2 |
|
|||||||
|
α |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
nlim→∞ ∫0 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
x n |
|||||||
|
|
1 |
+ 1 + |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
Найти F (α) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
F(α) = cos∫α eα |
1−x2 dx . |
|||||||||
|
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
|
|
|
43
4. |
F(α) = α+∫1 |
sin αx |
dx . |
||
|
|||||
|
α−1 |
x |
|||
5. |
F(α) =1−∫2α |
(1−αx)ex dx . |
|||
|
1 |
|
|
|
|
6. |
F(α) = ∫α |
ln(1 +αx) |
dx . |
||
|
|||||
|
0 |
|
x |
Применяя дифференцирование по параметру под знаком интеграла, вычислить следующие интегралы.
7. |
∫π |
ln (1 − 2αcos x +α2 ) dx . |
|||
|
0 |
|
|
|
|
8. |
π∫/ 2 |
arctg(αtg x) |
dx . |
||
tg x |
|||||
|
0 |
|
|
Применяя интегрирование по параметру под знаком интеграла, вычислить следующие интегралы.
1 |
|
|
1 xb − xa |
|
|
|
|||||||||||||
9. ∫ sin ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
( a > 0, b > 0 ). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
x |
|
ln x |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
xb − xa |
|
||||||||||
10. |
∫0 |
cos ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
( a > 0, b > 0 ). |
||
|
x |
|
|
ln x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Несобственные интегралы, зависящие от параметра |
|||||||||||||||||||
Исследовать функцию F(α) на непрерывность на множестве E. |
|||||||||||||||||||
11. |
F(α) = +∞∫e−( x−α)2 dx , E = \ . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
F(α) = +∞∫ |
cos αx |
dx , E = \ . |
||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|||||||
13. |
F(α) = ∫1 |
sin x |
dx , E =[0;1) . |
||||||||||||||||
|
α |
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
14. |
F(α) = +∞∫ |
|
|
|
|
xdx |
, E = (2; + ∞) . |
||||||||||||
|
2 |
α |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
+ x |
|
|
|
44
15. F(α) = +∞∫αe−α2 x dx , E = \ .
0
Исследовать на равномерную сходимость интеграл J (α) на множестве E.
|
|
|
|
+∞ |
ln |
α |
|
|
|
|
|
|
||||||||
16. |
J (α) = ∫ |
|
x |
dx , |
E =[0;1] . |
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
J (α) = +∞∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
, E =[0; + ∞) . |
|
||||||||||
(x −α) |
2 |
+ |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
18. |
J (α) = +∞∫ |
e−αx4 dx , E =[α0 ; +∞) , α0 |
> 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
J (α) = +∞∫ |
sin x |
e−αx dx , E =[0; + ∞) . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
J (α) = ∫ |
sin x |
dx , |
E =[0; + ∞) . |
|
|||||||||||||||
|
α |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Используя интеграл Дирихле |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞∫ |
sin αx |
dx = πsign α , |
α \, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|||
вычислить следующие интегралы. |
|
|||||||||||||||||||
|
+∞ |
1 −cos αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
22. |
+∞∫ |
sin x3 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ x −sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
23. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
+∞∫ |
sin5 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя формулу Фруллани, вычислить интегралы ( a > 0 , b > 0 ).
45
25. |
+∞∫ |
cos2 ax −cos2 bx |
dx . |
|||||
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
26. |
+∞∫ |
sin2 ax −sin2 bx |
dx . |
|||||
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
27. |
+∞∫ |
e−ax2 −e−bx2 |
dx . |
|||||
x |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|||
28. |
∫1 |
xa − xb |
dx . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
ln x |
|
|
|
Эйлеровы интегралы
Выразить через значения гамма- и бета-функций следующие интегралы.
29. |
+∞∫ |
4 x |
|
dx . |
|
|
||||||
(1 + x) |
2 |
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
30. |
+∞∫ |
e−xn dx ( n > 0 ). |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31. |
+∞∫ x p−1e−αx dx |
( p > 0, α > 0 ). |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. |
+∞∫ |
1 |
e−α/ 2 x2 dx ( α > 0, n `). |
|||||||||
n+1 |
||||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
+∞∫e−ex e px dx |
( p > 0 ). |
||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
34. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
4 (2 − x)(1 + x) |
3 |
|||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||
35. |
∫2 |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|||
|
|
5 x |
3 |
2 |
|
|
||||||
|
0 |
|
|
(2 − x) |
|
|
|
|
||||
36. |
∫1 |
x 3 1 − x3 dx . |
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
37. |
π∫/ 2 sin4 x cos6 x dx . |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
38. |
∫1 |
xα (1 − xβ )γ dx |
( α −1, β > 0, γ > −1). |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
39. |
∫π |
|
sin p x |
dx |
|
( p >1). |
|||
|
|
|
|||||||
|
0 1 +cos x |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
(1 + x)2α−1 (1 − x)2β−1 |
||||||
40. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx ( α > 0, β > 0 ). |
|
(1 + x |
2 |
) |
α+β |
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
Ответы
1.π4 .
2.ln 12+ee .
3. |
−(eα |
|
sin α |
|
sin α +eα |
|
cos α |
|
cos α)+ cos∫α |
1 − x2 eα 1−x2 dx . |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
4. |
|
2α +1 |
sin α(α +1) − |
|
|
2α −1 |
sin α(α −1) . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
α2 +α |
α2 −α |
|
5.2e1−2α (2α −1 −2α2 ) .
6.α2 ln (1 +α2 ) .
7. 0, если |
|
α |
|
≤1 ; πln α2 , если |
|
α |
|
>1 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8. |
|
πsign α ln (1+ |
|
α |
|
) . |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
. |
||||||||
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 + (a +1)(b +1) |
||||||||||||||||||||
10. |
|
1 |
ln |
|
b2 |
+ 2b + 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
a2 |
+ 2a + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Непрерывна.
12. Непрерывна.
47
13.Непрерывна.
14.Непрерывна.
15.Непрерывна при α ≠ 0 , α = 0 – точка разрыва.
16.Сходится равномерно.
17.Сходится неравномерно.
18.Сходится равномерно.
19.Сходится равномерно.
20.Сходится равномерно.
21.π2α .
22.π6 .
23.π4 .
24.163π .
25.12 ln ba .
26.12 ln ba .
27.12 ln ba .
28.ln ba ++11 .
29.2 π2 .
30.1 Γ 1 . n n
31.Γ( p) .
αp
32.2n/ 2−1 α−n/ 2Γ n .
2
33.Γ( p) .
48
34.π 2 .
35.π . sin 52 π
36.2π 3 .
27
37.5123π .
38.1 B α +1, γ +1 .
β β
39. 2 p−1 B p −1, p +1 .
2 2
40. 2α+β−2 B(α, β) .
49
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.:
Наука, 1989.
2.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988.
3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Т. 2.
М.: Дрофа, 2004.
4.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.
5.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981.
50