Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

396.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

+∞

sin x

3. Равномерная сходимость ∫

dx следует из сходи-

+ ε

1/ 2

)

мости

+∞∫

sin x

и признака Вейерштрасса. Таким образом, вы-

полнены все условия теоремы 2.4′, и поэтому

+∞

sin x

+∞ sin x

ε→+lim0

∫

dx =

∫

dx =

+ ε

1/ 2

)

Приведем другой способ вычисления предела (3.6), основанный на одной теореме Арцела.

Обозначив исследуемый интеграл (3.6) через J (ε) , представим его в виде суммы J (ε) = J1 (ε) + J2 (ε) :

J1 (ε) = ∫1	sin x	dx ;			J2 (ε) = +∞∫	sin x	dx .
	2 2					2 2
0	x + ε			1		x + ε
Заметим, что в интеграле J2 (ε)				можно перейти к пределу под зна-
ком интеграла и получить +∞∫			sin x		dx .

Рассмотрим J1 (ε) .	1		x
	Возьмем произвольную числовую последо-
вательность {εn} → 0	и заметим, что функциональная последова-

тельность подынтегральных функций { f (x, εn )} не будет равномерно относительно x [0, 1] сходиться к своей предельной функ-

ции f (x) = sinx x . Поэтому воспользуемся следующей теоремой.

Теорема (Арцела). Пусть дана функциональная последовательность { fn (x)} , каждый член которой интегрируем в собственном

смысле по [a, b] , и пусть { fn (x)} ограничена в совокупности, т.е.

	fn (x)	≤ M < +∞ для всех	x [a, b] ; n =1, 2, ...
	fn (x)	≤ M < +∞ для всех	x [a, b] ; n =1, 2, ...
Если для всех x [a, b] существует предел
		f (x) = lim	fn (x) ,
		n→∞

и функция f (x) также интегрируема по [a, b] , то

nlim→∞	∫b	fn (x) dx = ∫b	f (x) dx .
	a	a

Согласно этой теореме предельный переход под знаком интеграла возможен и для J1 (ε) , причем

		lim J (ε) =	1		sin x	dx .
		lim J (ε) =	0		x	dx .
		ε→0 1	0		x
		ε→0 1	∫
Воспользовавшись результатом задачи 3.1							+∞∫	sin x	dx = π ,		полу-
Воспользовавшись результатом задачи 3.1							+∞∫		dx = π ,		полу-
							0	x		2
чим, что lim J (ε) =		π .
ε→0		2
Пример 3.8. Доказать, что интегралы
	+∞∫	sin ( f (x)) dx ,		+∞∫ cos ( f (x)) dx
	a			a
сходятся, если f	′
сходятся, если f	(x) монотонно возрастает и стремится к +∞ при
x → +∞ .	f	′								f (x)	моно-
Прежде всего		′
Прежде всего		(x) > 0 для достаточно больших x и

тонно возрастает. Будем считать, что это имеет место, уже начиная с x = a . По формуле конечных приращений имеем

f (x +1) = f (x) + f ′(x +θ) ≥ f (a) + f ′(x) .

Следовательно, сама функция			f (x) → +∞ при		x → +∞ . Введем
новую переменную		t = f (x) , так что x = g(t) ;			′
новую переменную		t = f (x) , так что x = g(t) ;			dx = g (t) dt , если
через g	обозначить	функцию,	обратную	к f.	Но производная
′	′
g (t) =1 / f (t) монотонно убывает и стремится к нулю при t → +∞.
Поэтому преобразованные интегралы
	+∞		+∞
		′	∫ cost	′
	∫ sin t g (t) dt ;		∫ cost	g (t) dt
	f (a)		f (a)

по признаку Дирихле сходятся, а с ними сходятся и исходные интегралы.

Пример 3.9. Доказать, что при p > 0

+∞∫ f (x p + x− p ) ln x

= 0 ,

(3.7)

+∞∫ f (x p + x− p ) ln x

= 0 ,

(3.8)

+ x

если только эти интегралы сходятся.

Для интеграла (3.7) имеем: +∞∫... = ∫1

... + +∞∫... . Сделав во втором из

интегралов

замену

переменной

x =1 / t ,

убедимся

в том,

что

+∞∫... = −∫1

... . Аналогично доказывается (3.8).

Пример 3.10. В предположении, что интеграл в правой части

сходится, доказать формулу

+∞

B 2

+∞

∫

Ax −

dx =

( y ) dy

( A, B > 0 ).

(3.9)

Выполнив замену переменной y = Ax −

, получим

+∞

B 2

∫

f ( y

) dy =

∫

Ax −

A +

−∞

+∞

B 2

= A

∫

f Ax −

∫

−

dx .

Второй из интегралов в правой части подстановкой

x = −

при-

водится к виду

∫

At −

dt .

−∞

Поэтому

+∞		2		+∞			B 2
∫	f ( y		) dy = A	∫	f	Ax −		dx .
∫				∫			x

−∞				−∞

В силу четности подынтегральной функции отсюда следует фор-

мула (3.9).

Пример 3.11. Вычислить

J = +∞∫e−( ax2 −b/ x2 ) dx ;		a, b > 0 .
0
Имеем
+∞		b	2
	− a x−	b
	− a x−

J = e−2 ab ∫e		x	dx .
0

Воспользовавшись формулой (3.9) и выполнив замену переменной

y = a x −	b / x , получим
J =	1	e−2 ab	+∞∫e−y2 dy =	1	e−2 ab	π	=	π	e−2 ab .
	a			a		2		2 a
			0

Пример 3.12. Изучим вопросы существования и вычисления несобственных интегралов специального вида, называемых интегралами Фруллани. Будем считать, что функция f (x) удовлетворяет

следующим условиям:

1) f (x) определена и непрерывна при x ≥ 0 ;

2) существует конечный предел

f (+∞) = lim

f (x) .

x→+∞

Из первого условия следует, что существует интеграл

∫

f (ax) − f (bx)

dx = ∫

f (ax)

dx −

∫

f (bx)

dx =

= a∫

f (z)

dz −b∫

f (z)

= b∫δ

f (z)

dz −b∫

f (z)

dz .

(3.10)

aδ

bδ

aδ

А интеграл (3.10) определяется равенством

+∞∫

f (ax) − f (bx)

dx = limδ→0

b∫δ

f (z)

dz −

Δ→+∞lim

b∫

f (z)

dz .

aδ

Применив к первому из интегралов правой части этого уравнения теорему о среднем, получим

b∫δ

f (z)

dz = f (ξ) b∫δ

= f (ξ) ln (b / a) ,

aδ

где aδ ≤ ξ ≤ bδ . Аналогично имеем

b∫

f (z)

dz = f (η) ln (b / a) ,

где a ≤ η≤ b

. Так как ξ → 0 при δ → 0 , а η→ +∞ при

→ +∞,

то отсюда

+∞∫

f (ax) − f (bx)

dx =[ f (0) − f (+∞)] ln (b / a) .

(3.11)

Рассмотрим примеры применения формулы (3.11)

А. Дано J = +∞∫

e−ax

−e−bx

dx .

Используя

(3.11),

получим

f (x) = e−x , f (0) =1 , f (+∞) = 0 ,

J = ln(b / a) .

+∞

−ax

Б. Дано J = ∫

+ qe

( p, q > 0 ).

−bx

p + qe

Заменив логарифм частного разностью логарифмов, можно по-

лучить	f (x) = ln ( p + qe−x ) . Тогда				f (0) = ln ( p + q) , f (+∞) = ln p ,
J = ln (1 + q / p) ln (b / a) .
В. Дано J = +∞∫		arctg ax −arctg bx			dx .
В. Дано J = +∞∫					dx .
	0		x
Здесь	f (x) = arctg x ,		f (0) = 0 ,	f (+∞) =		π	;
						2

J = π2 ln (a / b) .

4.ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЯ

СПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ ЭЙЛЕРА

Гамма-функцией, или эйлеровым интегралом второго рода, называется интеграл

Γ( p) = +∞∫ x p−1e−x dx .	(4.1)
0

Приведем основные свойства Γ-функции. Функция Γ( p) определена и непрерывна при p > 0 . Более того, при p > 0 она имеет не-

прерывные производные всех порядков. Достаточно доказать существование производных. Дифференцируя интеграл (4.1) под знаком интеграла, получим

Γ′( p) = +∞∫ x p−1 ln x e−x dx .

Дифференцирование под знаком интеграла оправдано тем, что интегралы

∫1	f (x, p) dx и	+∞∫ f (x, p) dx ,
0		1

где f (x, p) = x p−1 ln x e−x , сходятся равномерно относительно p: первый – благодаря неравенству f (x, p) ≤ x p1 −1 ln x e−x , а второй – благодаря неравенству f (x, p) ≤ x p2 −1 ln x e−x , где 0 < p1 ≤ p ≤ p2 <

< +∞. Аналогично доказывается существование других производных.

Интегрированием по частям доказывается формула понижения

Γ( p +1) = pΓ( p) .

(4.2)

Из нее при целом n следует формула
Γ(n +1) = n!,	(4.3)

которая показывает, что Γ-функция является единственным распространением на область положительных значений аргумента факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

Следующая формула носит название формулы дополнения

Γ( p) Γ(1 − p) =

(4.4)

sin πp

Пример 4.1. Вычислить J = +∞∫e−x2

dx .

Положив t = x2 , преобразуем интеграл к виду

J =

+∞∫t1/ 2−1 e−t dt =

Γ(1 / 2) .

Согласно

формуле

дополнения

[Γ(1 / 2)]2 = π .

Поэтому

Γ(1 / 2) = π и J = π / 2 .

Пример 4.2. Вычислить J = +∞∫ x p e−ax

ln x dx , a > 0 .

Рассмотрим

+∞

Γ( p +1)

F ( p) = ∫

−ax

dx =

p+1

Эта функция дифференцируема при

p > −1, как следует из свойств

Γ-функции. Поэтому

J =

∂F

∂

Γ( p +1)

p+1

∂p

Пример 4.3. Вычислить

J = ∫1

(ln1 / x) p dx .

(4.5)

Выполнив замену

переменной,

ln (1 / x) = t ;

1 / x = et ,

dx = −e−t

dt , получим, что

J = − ∫0

t p e−t dt = Γ ( p +1) .

+∞

Следовательно, интеграл (4.5) сходится при p > −1 и представляет

собой иное выражение для Γ-функции.

Пример 4.4. Выразить через Γ-функцию интеграл

J = +∞∫ xβ−1 e−λxα dx ; α, β, λ > 0 .

Положив t = xα , найдем, что

J= 1 +∞∫ tβ/ α−1 e−λt dt .

α0

Сделав замену переменной ξ = λt , преобразуем последнее выражение к виду

λ−β/ α

+∞

β/ α−1

−ξ

Γ(β / α)

∫

dξ =

αλ

β/α

Пример 4.5. Вычислить J = +∞∫ x2n

e−x2

dx .

β = 2n +1,

Используя результат, полученный выше, и полагая

α = 2 , λ =1, согласно формуле понижения имеем

2n +1

J =

Γ n +

n −

(2n −1)!!

n −

... Γ

π .

n+1

Пример 4.6. Вычислить

R = ∫1 ln Γ(x) dx .

(4.6)

Этот интеграл сходится, поскольку согласно формуле (4.2)

ln Γ(x) = ln Γ(x +1) −ln x ,

x > 0 .

Положив x =1 − y , запишем

	R = ∫1 ln Γ(1 − y) dy .			(4.7)
	0
Сложив (4.6) и (4.7), найдем
2R = ∫1	ln [Γ(x)Γ(1 − x)] dx = ∫1	ln	π	dx =
2R = ∫1	ln [Γ(x)Γ(1 − x)] dx = ∫1	ln	sin πx	dx =
0	0		sin πx

=ln π− 1 ∫π ln sin x dx =

π0

2 π/ 2

= ln π− π ∫0 ln sin x dx = ln 2π.

Вычислим интеграл J = π∫/ 2 ln sin x dx . Полагая x = 2t , имеем

J = 2	π∫/ 4	ln sin 2t dt =	π ln 2 + 2	π∫/ 4 ln sin t dt + 2	π∫/ 4 ln cos t dt .
	0		2	0	0

Сделав подстановку t = π2 − y в последнем интеграле, приведем его

к виду

J0 = 2 π∫/ 2 ln sin y dy .

π/ 4

Тогда для определения J получаем уравнение J = π2 ln 2 + 2J , отку-

да J = −	π ln 2 . Окончательно имеем R = ln 2π .
	2

Бета-функцией, или эйлеровым интегралом первого рода, называется интеграл

B( p, q) = ∫1	x p−1 (1 − x)q−1 dx ,	(4.8)
0

(m + n −1)!

где p, q > 0 . Этот интеграл сходится при всех p, q > 0 , причем при 0 < p <1 , 0 < q <1 он является несобственным.

Выполнив подстановку x =1 − y , нетрудно установить, что

B( p, q) = B(q, p) ,

т.е. B-функция является симметричной относительно p и q. При натуральных значениях аргументов справедлива формула

B(m, n) = (n −1)!(m −1)! .

Она применима и при m =1,

n =1 , если считать, что 0! =1.

B-Функция достаточно просто выражается через Γ-функцию, а

именно:

= Γ( p) Γ(q) .

B( p, q)

Γ( p + q)

Пример 4.7. Вычислить J = ∫a x2

a2 − x2 dx .

Выполнив

замену

переменной

t = (x / a)2 ,

x = at1/ 2 ,

dx =

t−1/ 2

dt , преобразуем этот интеграл к виду

1/ 2

a4 [Γ(3 / 2)]2

πa4

J =

∫0

(1 −t)

dt =

16 .

Γ(3)

Пример 4.8. Вычислить J = π∫/ 2 cosα xsinβ x dx ; α, β > 0 .

Подстановкой t = sin2 x ;

dx =

(1 −t)−1/ 2 t−1/ 2

dt ,

этот

интеграл

можно привести к виду

	1	1	α−1 β−1
J =	1	∫(1 −t) 2 t 2
J =	2	∫(1 −t) 2 t 2
	2	0

	1	α +1			β+1
dt =		B		,		=
	2		2		2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.20152.18 Mб305Arch_2004.doc
#
25.11.201964.51 Кб3asd.doc
#
05.06.20152.34 Mб90b0003.pdf
#
27.03.20161.29 Mб114Babalova_Algoritmizaciya_zadach_i_strukturirovanie_programm_2013.pdf
#
05.06.20153.88 Mб15Basharov_mephi86.pdf
#
27.03.2016396.53 Кб18Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013.pdf
#
05.06.20151.05 Mб12Baskakov_Nesobstvennye_integraly_2014.pdf
#
23.09.2019304.64 Кб4Bazy_dannykh_i_znany.doc
#
02.08.2019341.81 Кб4bcnjhbz.docx
#
09.09.20193.65 Mб12BD_LabPraktikum.docx
#
27.03.20164.94 Mб141Belyaev_Nuclea Physics of Medecine_Study Manual.pdf