Baskakov_Nesobstvennye_integraly_2014
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
А.В. Баскаков, Е.В. Сумин
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие
Москва 2014
УДК 517.382(07) ББК 22.161.1я7 Б 27
Баскаков А.В., Сумин Е.В. Несобственные интегралы: учебно-
методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2014. – 52 с.
Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие к практическим занятиям по специальным разделам математического анализа.
В работе разбираются несобственные интегралы с бесконечным промежутком интегрирования (1-го рода) и от неограниченной функции на конечном промежутке интегрирования (2-го рода). Исследуется абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов, при этом, в частности, используется метод выделения главной части. При вычислении несобственных интегралов используются методы теории функций комплексного переменного. Рассмотрено решение соответствующих примеров и приведены задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов НИЯУ МИФИ, изучающих в курсе математического анализа специальные разделы. Будет также полезно преподавателям, ведущим практические занятия.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. НИЯУ МИФИ А.С. Леонов
ISBN 978-5-7262-1958-5
©Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2014
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определим несобственный интеграл на полуинтервале [a; b) от
функции с единственной особенностью в правом конце.
Пусть функция f (x) задана на конечном полуинтервале [a; b) ,
где a и b – некоторые действительные числа. Допустим, что f (x) интегрируема на любом отрезке [a; b′) , где b′<b и не ограничена в левой полуокрестности точки b (т.е. на интервале (b −ε; b) ). Тогда ее интеграл на [a; b) , или на [a; b] , в обычном смысле (Римана) не
может существовать, потому что интегрируемая по Риману на отрезке [a; b] функция должна быть ограниченной на этом отрезке.
Если же при этом существует конечный предел
|
|
′ |
|
|
blim′→b b∫ f (x) dx , |
||
|
|
a |
|
то говорят, что интеграл ∫b |
f (x) dx |
сходится, а функция f (x) ин- |
|
|
a |
|
|
тегрируема в несобственном смысле на [a; b) , и |
|||
∫b |
|
|
′ |
f (x) dx = blim′→b |
b∫ f (x) dx . |
||
a |
|
|
a |
В противном случае говорят, что интеграл расходится или не существует как несобственный риманов интеграл, а функция f (x)
неинтегрируема в несобственном смысле на [a; b) . |
|
Допустим теперь, что функция f (x) задана на |
полупрямой |
[a; +∞) и интегрируема на любом конечном отрезке |
′ |
[a; b ] , где |
|
a <b′<∞ . Если существует конечный предел |
|
′ |
|
blim′→+∞ b∫ f (x) dx , |
|
a |
|
3 |
|
то он называется несобственным интегралом от функции f (x) на [a; +∞) , и таким образом,
|
′ |
+∞∫ f (x) dx = blim′→+∞ b∫ f (x) dx . |
|
a |
a |
В этом случае говорят, что функция f (x) интегрируема в несобственном смысле на [a; +∞) .
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции, заданной на сегменте (a; b] с единственной особенностьюв точкеa.
Пусть функция f (x) определена на множестве [a; c) (c; b] и интегрируема по Риману на отрезках [a; c −ε) и (c +ε; b] для любого ε > 0 , т.е. точка c является единственной особой точкой. Го-
ворят, что интеграл ∫b f (x) dx сходится, если сходятся оба интегра-
|
|
a |
ла ∫c |
f (x) dx и ∫b |
f (x) dx . |
a |
c |
|
Будем говорить, что функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b] в смысле главного значения, если существует предел
|
c−ε |
b |
|
|
|
ε→lim0+ |
|
∫ |
f (x) dx + ∫ |
f (x) dx |
= J . |
|
|
a |
c+ε |
|
|
Этот предел обозначается J =V. P. ∫b |
f (x) dx . |
|
|||
|
|
|
a |
|
|
В дальнейшем мы будем исследовать на сходимость интегралы от функции f (x) с единственной особенностью на правом конце
рассматриваемого полуинтервала [a; b) , причем точка b может
быть как конечным числом (несобственный интеграл 2-го рода), так и бесконечностью (несобственный интеграл 1-го рода).
4
1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
|
1. Линейность |
интеграла. |
|
|
Если |
несобственные интегралы |
||
∫b |
f (x) dx |
и ∫b g(x) dx сходятся, |
то для любых чисел α и β сходится |
|||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
интеграл ∫b (αf (x) +βg(x)) dx , причем |
|
|||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫b (αf (x) +βg(x)) dx = α∫b |
f (x) dx +β∫b g(x) dx . |
|||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
2. Формула Ньютона–Лейбница. |
Если функция f (x) , |
||||||
x [a; b) , |
непрерывна и F(x) , |
x [a; b) , – какая-либо ее первооб- |
||||||
разная, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫b |
f (x) dx = F (x) |
|
ba− = F(b− ) − F(a) , |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
где F(b− ) = lim F(x) .
x→b−0
3. Формула замены переменной. Пусть f (x) – непрерывная на сегменте [a; b) функция, а ϕ(t) – непрерывно-дифференцируемая на [α; β) функция, причем для всех t (α; β) справедливо соотно-
шение
a =ϕ(α) ≤ϕ(t) < lim ϕ(t) =b ,
t→b−0
тогда
b |
β |
|
|
′ |
(1.1) |
∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t) dt . |
||
a |
α |
|
Формула (1.1) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой.
4. Формула интегрирования по частям. |
Если u(x) и |
υ(x) – |
непрерывно-дифференцируемые на [a; b) |
функции и |
предел |
lim (uυ) существует, то |
|
|
x→b−0 |
|
|
5
∫b u dυ =uυ |
|
ba− |
−∫b υdu , |
(1.2) |
|||
|
|||||||
|
|
||||||
a |
|
|
|
a |
|
||
где |
|
|
|
|
|
||
u υ |
|
b− |
= lim (uυ) −u(a)υ(a) . |
|
|||
|
|
||||||
|
|
a |
x→b−0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Формула (1.2) справедлива в случае сходимости, по крайней мере, одного из входящих в нее интегралов. Если один из интегралов расходится, то расходится и другой.
Пример 1.1. Вычислить интеграл
+∞∫ dx / xβ |
(1.3) |
1
для тех значений параметра β, при которых он сходится.
По определению интеграл (1.3) сходится, если существует конечный предел
A |
|
lim |
ln A, |
|
|
β=1; |
|
A→+∞ |
|
|
|
|
|
Alim→+∞ ∫x |
−β |
1 |
|
|
|
|
|
dx = |
1−β |
|
|
||
1 |
|
lim |
|
( A |
−1), |
β ≠1. |
|
1−β |
|||||
|
|
A→+∞ |
|
|
|
Легко видеть, что при β≤1 конечного предела не существует. Таким образом, интеграл (1.3) сходится при β>1 и
+∞∫ |
dx |
= |
1 |
|
. |
|
β |
β−1 |
|||||
1 |
x |
|
|
|||
Пример 1.2. Вычислить интеграл |
|
|||||
|
1 |
|
dx |
|
|
(1.4) |
|
∫0 |
xβ |
|
|
||
|
|
|
|
|||
для тех значений параметра β, при которых он сходится. |
||||||
Подынтегральная функция |
x−β |
на отрезке [0;1] имеет единст- |
венную особенность в точке x = 0 . По определению несобственного интеграла
1 |
dx |
1 |
dx |
lim ln |
|
x |
|
, |
β=1; |
|||
|
|
|||||||||||
a→0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫0 |
|
= alim→0+ ∫0 |
|
= lim |
1 |
|
|
|
|
|||
xβ |
xβ |
(1 − a1−β ), |
β ≠1. |
|||||||||
1−β |
||||||||||||
|
|
|
|
a→0+ |
|
|
6
Нетрудно убедиться, что при β≥1 интеграл (1.4) расходится, а
при β<1 имеет место равенство ∫1 |
x−β dx = |
1 |
. |
|
1 −β |
||||
0 |
|
|
Пример 1.3. Определить те значения параметра, при которых сходится интеграл
+∞∫ |
dx |
|
|
, |
α . |
(1.5) |
(2x − |
3) |
α |
||||
3/ 2 |
|
|
|
|
Представим интеграл (1.5) в виде суммы двух несобственных интегралов
+∞∫ |
dx |
|
|
|
= ∫2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
+ +∞∫ |
dx |
|
|
. |
|||||||||
(2x − |
3) |
α |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
α |
(2x − |
3) |
α |
||||||||||||||
3/ 2 |
|
|
3/2 (2x − |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
Выполнив замену переменной t = 2x −3 , получим |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
dt |
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
|||||||
|
|
(2x − |
3) |
α |
|
2 |
t |
α |
|
|
|
|||||||||||||||||
и |
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞∫ |
|
dx |
|
|
= |
|
1 |
+∞∫ |
|
dt |
. |
|
|
(1.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
α |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 (2x −3) |
|
|
|
|
|
2 1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Как мы убедились выше, интеграл (1.6) сходится при α <1 , а интеграл (1.7) – при α >1 . Таким образом, интеграл (1.5) не схо-
дится ни при каких значениях параметра α. Пример 1.4. Вычислить интеграл
∫1 |
(6 x +1)2 |
dx . |
0 |
x |
|
Используя свойство линейности интеграла и формулу Ньютона– Лейбница, получаем
∫ ( |
6 |
x + |
1) |
2 |
= ∫ 6dx +2∫3dx + ∫ dx = |
||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
x |
0 |
|
x |
|||||||
= |
6 |
6 |
x5 |
|
1 + 2 |
|
3 |
3 |
x2 |
|
1 + 2 x |
|
1 = |
31 |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
0+ |
2 |
|
|
|
0+ |
|
|
|
0+ |
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Пример 1.5. Вычислить интеграл
1 dx
∫0 (2 − x) 1− x .
Воспользуемся |
формулой |
|
замены |
|
|
переменной. |
|
Положим |
||||||||||||
t2 =1− x , t > 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
dx |
|
|
0 |
t dt |
|
1 |
|
dt |
|
|
|
1 |
|
π |
|
||||
∫ |
|
|
= −2∫ |
|
= 2∫ |
|
|
|
= 2arctg t |
= |
. |
|||||||||
(2 − x) 1 |
− x |
t(t |
2 |
+ |
1) |
t |
2 |
+1 |
0 |
2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Здесь несобственный интеграл с помощью замены переменной преобразован в собственный.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАСХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ КОШИ
Теорема 2.1 (критерий Коши). Для сходимости интеграла
∫b f (x) dx необходимо и достаточно выполнения условия (Коши):
a
для всякого ε > 0 существует такое число b0 (ε) (a; b) , что для всех чисел b′ и b′′, если b0 ≤b′<b′′<b , выполняется неравенство
b′′
∫f (x) dx < ε .
b′
Этот критерий применяется, в основном, для доказательства расходимости интегралов, поэтому сформулируем признак расходимости, основываясь на этом критерии.
Утверждение 2.1. Интеграл ∫b f (x) dx расходится, если сущест-
a
вует такое число ε > 0 , что для любого b0 (a; b) найдутся числа b′ (b0 ; b) и b′′ (b0 ; b) , для которых
b′′
∫ f (x) dx ≥ ε .
b′
Пример 2.1. Доказать расходимость интеграла |
|
+∞∫sin x dx . |
(2.1) |
0 |
|
8
Заметим сначала, что для любого натурального числа n справедливо равенство
(n+1)π
∫ sin x dx = cos x ππn(n+1) = 2 .
nπ
На этом замечании и основывается доказательство. Пусть ε = 2 и b0 – произвольное положительное число. Возьмем такое натураль-
ное число N, что πN > b0 ; положим b′ = πN и b′′ = π(N +1) . Теперь из соотношения
b′′
∫sin x dx = 2 ≥ ε
b′
вытекает расходимость интеграла (2.1). Пример 2.2. Доказать расходимость интеграла
|
|
+∞∫ |
|
|
sin x |
|
|
dx . |
(2.2) |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
x |
x →∞ . |
||||||
Интеграл |
(2.2) имеет единственную особенность при |
||||||||||
(При x → 0 подынтегральная функция имеет конечный предел.) |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
Пусть ε = |
π и b – произвольное положительное число. Числа b |
||||||||||
|
иb′′ выбираем из следующих соображений:
1)b′ = πN , b′′ = π(2N + 2) ;
2)πN > b0 .
Здесь N – некоторое натуральное число. Из оценки
|
|
b′′ |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
b′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 N +1 |
π(n+1) |
|
sin x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
= ∑ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx ≥ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
n=N |
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 N +1 |
π( n+1) |
sin x |
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
∫ |
|
|
dx |
= |
|
|
|
||
|
|
|
||||||||
|
x |
|||||||||
n=N |
π |
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 N +1 |
1 |
|
|
π(n+1) |
|
|
|
|
||
∑ |
|
|
∫ |
|
sin x |
|
dx = |
|||
|
|
|
|
|||||||
π(n +1) |
|
|||||||||
n=N |
πn |
|
|
|
|
|
2 N +1 |
1 |
|
π(n+1) |
|
|
|
1 |
2 N +1 |
|||
= ∑ |
|
∫ sin x dx |
≥ |
|
∑ |
2 = |
|||||
π(n +1) |
π(2N + 2) |
||||||||||
n=N |
|
πn |
|
|
n=N |
|
|||||
|
= |
1 |
(N + 2)2 > |
1 |
|
|
|
||||
|
2(N +1)π |
π |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
следует расходимость интеграла (2.2).
9
Пример 2.3. Доказать расходимость интеграла
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ sin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(2.3) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 − x 1 − x |
|
и такой номер n, чтобы |
|||||||||||||||||||||||||
Возьмем произвольное число η (0;1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполнялось неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n >1/ π(1 −η) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
||||||||||||||||||||
Оценим |
снизу |
|
|
абсолютную |
|
величину |
|
интеграла |
от функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по отрезку |
|
|
1− |
|
|
|
|
;1− |
|
|
|
|
|
|
, применив замену пе- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
− x 1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ременной t |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2πn |
|
sin2 t |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
πn |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
dt > |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
2∫πn |
sin2 t dt = |
1 |
|
|
|
πn = |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||
Из |
|
неравенства |
(2.4) |
|
|
|
|
следует, |
|
|
|
|
что |
|
|
η =1 |
− |
1 |
> η и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
πn |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
η2 |
=1− |
>η. Таким образом, неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2πn |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin |
2 |
|
|
|
|
≥ ε |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
1 |
− x 1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняется для ε =1 / 4 . Расходимость интеграла (2.3) доказана.
3.ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ
Вэтом разделе исследуются на сходимость интегралы от знакоположительных функций.
Теорема 3.1. Пусть интегралы
∫b |
f (x) dx |
(3.1) |
a |
|
|
и
10