7 Квантовая физика

Основные формулы и определения

● Рассмотрим законы теплового излучения абсолютно черного тела: закон Стефана – Больцмана и закон смещения Вина.

По закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:

R _э =σ·Т⁴,

где σ – постоянная Стефана – Больцмана. Энергетическая светимость R _э численно равна площади фигуры, охватываемой графиком функции r _λ ,_T и осью абсцисс λ. Функция r _λ ,_T называется спектральной плотностью энергетической светимости. Эта функция зависит от длины волны λ (частоты ν) и температуры Т. График функции r _λ ,_T ( λ) представляет собой кривую с максимумом.

Согласно закону смещения Вина, длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре:

λ _max = b /Т,

где b – постоянная Вина, Т - термодинамическая температура.

● Закономерности внешнего фотоэффекта объясняются с помощью формулы Эйнштейна:

hν = A + mv²_max /2,

где h – постоянная Планка, ν - частота падающего света, А – работа выхода электрона из металла, (mv²_max /2) - максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов.

● Длина волны де Бройля равна:

λ = h /p,

где h – постоянная Планка, p – импульс частицы. Импульс равен произведению массы частицы на её скорость: р = m·v.

● В квантовой механике имеет место соотношение неопределённостей:

∆x·Δp_x ≥,ħ ,

где ∆x - неопределённости координаты микрочастицы, Δp_x - неопределённость соответствующей компоненты импульса, ħ = h /(2∙π) – постоянная Планка, делённая на 2 π.

● Частота кванта энергии, излучаемая атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты (с номером n) на другую (с номером m), описывается обобщённой формулой Бальмера:

ν = R(1/m² – 1/ n²),

где R – постоянная Ридберга. Если номер m принимает значения m =1,2,3… , то номер n – может принимать значения: n = m +1, m +2, … Все частоты группируются по сериям, причём число m характеризует номер серии, а число n определяет линию в данной серии. Частота связана с длиной волны соотношением: ν =с / λ, где с – скорость света в вакууме.

Тест 7 –1

На рисунке показана кривая зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при Т=6000К. Если температуру тела уменьшить в 4 раза, то длина волны, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела. ...

Варианты ответов:

1) уменьшится в 4 раза;

2) увеличится в 4 раза;

3) увеличится в 2 раза;

4) уменьшится в 2 раза

Решение

Согласно закону Вина, длина волны λ _max , на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре: λ _max =b /Т, где b – постоянная Вина, Т – термодинамическая температура. Если температуру уменьшить в 4 раза, то длина волны λ _max увеличится в 4 раза.

Ответ: вариант 2.

Тест 7 –2

На рисунке показаны кривые зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при разных температурах. Если кривая 1 соответствует спектру излучения абсолютно черного тела при температуре 6000 К, то кривая 2 соответствует температуре (в К) ...

Варианты ответов:

1) 1500; 2) 750;

3) 3000; 4) 1000.

Решение

Согласно закону Вина, длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре:

λ _max = b /Т, где b – постоянная Вина, Т - термодинамическая температура. Из рисунка следует, что λ_{1 max} =500 нм и λ_{2 max} =2000 нм. Используя закон Вина, найдём отношение λ_{1 max} / λ_{2 max} = (b /Т₁):(b /Т₂) =Т₂ /Т₁. Отсюда:

Т₂ = Т₁·( λ_{1 max} / λ_{2 max}). По условию задачи Т₁ =6000 К.

Подставим численные значения и найдём Т₂ =6000·(500/2000) = 1500 К.Таким образом, кривая 2 соответствует температуре Т₂ = 1500 К.

Ответ: вариант 1.

Тест 7 –3

На рисунке показана кривая зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от частоты при различных температурах. Наибольшей температуре соответствует график…

Варианты ответов:

1) График 1;

2) График 2;

3) График 3.

Решение

По закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры: R _э =σ·Т⁴, где σ – постоянная Стефана – Больцмана. Численно энергетическая светимость R _э равна площади фигуры, охватываемой графиком функции r _ν ,_T и осью абсцисс ν. Функция r _ν ,_T называется спектральной плотностью энергетической светимости . Следовательно, чем больше площадь, тем выше температура. Из рисунка видно, что наибольшую площадь охватывает график 3,поэтому он соответствует наибольшей температуре.

Ответ: вариант 3.

Тест 7 – 4

На рисунке представлены две зависимости задерживающего напряжения U₃ от частоты ν падающего света для внешнего фотоэффекта. Укажите верные утверждения.

Варианты ответов:

1) Зависимости получены для двух различных металлов.

2) С помощью этих зависимостей можно определить значение постоянной Планка.

3) А₂ < А₁ где А₁ и А₂ - значения работы выхода электронов из соответствующего металла.

Решение

Закономерности внешнего фотоэффекта объясняются с помощью формулы Эйнштейна: hν = A + mv²_max /2, где h – постоянная Планка, ν - частота падающего света, А – работа выхода электрона из металла, (mv²_max /2) - максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов, которая связана с задерживающей разностью потенциалов U_з соотношением: mv²_max /2 = eU_з. Тогда формула Эйнштейна будет иметь вид: hν = A + eU _з, где e – заряд электрона. Из последней формулы получим: U_з =(h/e)·ν – A/e. Анализ этой формулы, которая с математической точки зрения является уравнением прямой, позволит ответить на все вопросы теста.

1. При ν = 0 найдем точку пересечения прямой с осью ординат: U_з = – A/e. Так как e<0, то А = eU_з, Поскольку на графике изображены две прямые, то мы имеем дело с двумя работами выхода, а это значит, что зависимости получены для двух различных металлов. Следовательно, первое утверждение верно.

2. С помощью этих зависимостей можно определить значение постоянной Планка. Для этого найдём точку пересечения прямой с осью абсцисс, положив U_з = 0. Тогда получим: hν₀ = A и отсюда h = А/ν₀. То есть второе утверждение тоже является верным.

3. Третье утверждение является неверным, т.к. из графиков видно, что выполняется неравенство │U_з1 │ < │U_з2│, поэтому А₁ < А₂.

Ответ: верны утверждения 1 и 2

Тест 7 – 5

В опытах по внешнему фотоэффекту изучалась зависимость энергии фотоэлектронов от частоты падающего света. Для некоторого материала фотокатода на рисунке исследованная зависимость представлена линией b.

При замене материала фотокатода на материал с меньшей работой выхода зависимость будет соответствовать прямой...

Варианты ответов:

1) d, параллельной линии b;

2) b, т.е. останется той же самой;

3) c, имеющей меньший угол наклона, чем линия b;

4) а, параллельной линии b.

Решение.

Закономерности внешнего фотоэффекта объясняются с помощью формулы Эйнштейна: hν = A + mv²_max /2, где h – постоянная Планка, ν - частота падающего света, А – работа выхода электрона из металла, (mv²_max /2) = W_κ - максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов. Иначе уравнение Эйнштейна можно записать в виде: hν = A + W_κ . Отсюда зависимость кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего света описывается уравнением: W_κ = hν – A. С математической точки зрения это уравнение представляет собой уравнение прямой, где коэффициент при переменной ν равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс . В нашем уравнении тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс равен h – постоянной Планка, поэтому наклон прямой не должен изменяться при замене материала. Следовательно, вариант ответа 3) отпадает как неверный.

Проанализируем остальные варианты ответов. Для этого ещё раз рассмотрим уравнение W_κ = hν – A. Из этого уравнения следует, что при W_κ =0 hν₀ = A, где ν₀ – частота, называемая красной границей фотоэффекта. Понятно, что чем меньше красная граница фотоэффекта, тем меньше работа выхода. Значение частоты, соответствующей красной границе фотоэффекта, можно найти из рисунка, из которого следует, что ν₁ <ν₀< ν₂ , поэтому А₁< А₀ < А₂. Следовательно, при замене материала фотокатода на материал с меньшей работой выхода зависимость W_κ(ν) будет соответствовать прямой а. Ответ: вариант 4..

4) b, имеющей больший угол наклона, чем линия с.

Тест 7 – 6

На рисунке представлены две вольтамперные характеристики вакуумного фотоэлемента. Если Е - освещенность фотокатода, a ν -частота падающего на него света, то справедливо следующее утверждение…

Варианты ответов:

1) ν₁ < ν₂, E₁ = E₂;

2) ν₁ = ν₂, E₁ < E₂;

3) ν₁ > ν₂, E₁ = E₂;

4) ν₁ = ν₂, E₁ > E₂.

Решение.

Из вольтамперных характеристик, изображенных на рисунке, можно определить силу тока насыщения, т.е. значение фототока, при котором ток максимален и не зависит от приложенного напряжения, а также определить величину задерживающего напряжения, при котором фототок прекращается.

Согласно закону Столетова, сила фототока I _НАС насыщения пропорциональна освещенности катода. Так как для двух вольтамперных характеристик токи насыщения одинаковы, то освещенности катода, при которых они сняты, тоже будут одинаковы (Е₁=Е₂), что соответствует вариантам ответов 1 и 3. Выберем один вариант из этих двух.

Согласно формуле Эйнштейна: hν = A + mv²_max /2, где h – постоянная Планка, ν - частота падающего света, hν - энергия фотона, А – работа выхода электрона из металла, (mv²_max /2) - максимальная кинетическая энергия электрона. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов пропорциональна величине задерживающего напряжения: mv²_max /2 = e U_з , где e – заряд электрона. Таким образом, hν = A + eU_з,. Отсюда следует, что U_з тем больше, чем больше частота падающего света.

Так как величина задерживающего напряжения для первой кривой больше, чем для второй, то ν₁ > ν₂ , то есть верным будет утверждение 3.

Ответ: вариант 3.