1. Нахождение наиболее достоверных значений измеренных величин и параметров (Уравнивание).

Представим векторы реальных значений измеряемых величин и параметров в виде сумм исходных векторов и малых поправок к ним:

Y_n1 = y_n1 + v_n1, (K.11)

X_k1 = x_k1 + X_k1. (П.4)

Поправки к измерениям v_n1 и приближённым значениям параметров X_k1 полагаем значительно мèньшими по модулю самих результатов измерений y_n1 и приближённых параметров x_k1 т.е. |v_n1| << | y_n1| и |X_k1| << | x_k1|. Такое предположение основывается на том, что геодезические измерения y_n1 выполняются с относительными СКО порядка не ниже 10^-3÷10^-4, а приближённые значения параметров x_k1 вычисляют по тем же измерениям.

При подстановке (K.11) и (П.4) в ПУС (П.1) получаем такой результат:

y_n1 + v_n1 = F_n1(x^T_1k + X^T_1k; Z^T_1q), (П.5)

Разложив функцию (П.5) в ряд Тейлора в окрестностях точек y_n1 и x_k1 и ограничившись только линейными членами, получим линеаризованные ПУС (ЛПУС):

y_n1 + v_n1 = F_n1(x^T_1k;z^T_1q) + {∂F_i/∂X_j}*X_k1 . (П.6)

Частные производные функций F_i по параметрам X_j – это матрица коэффициентов линеаризованных ПУС A_nk. Числовые значения производных находят по приближённым значениям параметров x_k1. Разность векторов y_n1 и F_n1(x^T_1k;z^T_1q) представляет собой вектор «свободных членов» ЛПУС:

L_n1 = y_n1 – F_n1(x^T_1k z^T_1q). (П.7)

С учётом введённых обозначений, уравнения (П.6) запишутся таким образом:

A_{n k} X_k1 – L_n1 = v_{n 1}. (П.8)

Выдвинув требование линейной независимости параметров, мы вправе считать, что

rank(A_{n k}) = k. (П.9)

В таком случае матрица A_{n k} будет матрицей полного столбцового ранга.

Система ЛПУС (П.8) содержит, кроме неизвестных поправок X_k1 к параметрам x_k1, так же не известные поправки v_{n 1} в измерения y_n1. Это означает, что она будет иметь бесчисленное множество решений.

Для нахождения единственных значений зависимых векторов и на систему (П.8) накладывается МНК-ограничение:

A_nk * –L_n1 =

. (П.10)

 =

Необходимым условием существования экстремума функции  является равенство нулю её частных производных:

. (П.11)

Система (П.11) содержит «k» уравнений и «n» неизвестных , записанных в строку. Транспонируя эту систему, получаем «лемму Гаусса»:

. (П.12)

Эти неизвестные являются функциями (П.8) «k» параметров, что позволяет получить систему нормальных параметрических уравнений, число которых равно числу неизвестных:

. (П.13)

Здесь

N_kk = A^T K^-1 A – (П.14)

матрица коэффициентов, а

G_k1 = A^T K^-1 L – (П.15)

вектор свободных членов нормальных параметрических уравнений.

Предположив линейную независимость вектора параметров, мы установили, что матрица коэффициентов ЛПУС A_{n k} является матрицей полного столбцового ранга. В таком случае матрица коэффициентов нормальных уравнений N_kk = A^T K^-1 A будет квадратной матрицей полного ранга, т.е.

rank(N_{k k}) = k. (П.16)

Это означает, что det(N) ≠ 0 и существует обратная матрица N^-1. Тогда решение нормальных параметрических уравнений даст корни системы (П.13):

, (П.17)

являющиеся МНК-поправками к приближённым значениям параметров x_k1. Поправки становятся случайными величинами, будучи функциями свободных членов (П.15), в которые вошли погрешности измерений.

Подставляя МНК-поправки в ЛПУС (П.10), получаем МНК-поправки в измерения:

= A_nk * –L_n1. (П.10)

Последний шаг, МНК-оптимизация или «уравнивание», выполняется путём введения найденных МНК-поправок в приближённые значения параметров и в измерения:

= x_k1 + , (П.18)

= y_n1 + . (П.19)

Итак, алгоритм МНК-оптимизации или уравнивания результатов измерений и параметров получен.