Контрольная работа №1

102. Уравнения движения двух материальных точек по прямой: , где= 12 м/с,,, где= 2 м/с,. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

Дано:

= 12 м/с

= 2 м/с

v₁ = v₂ = v

t=? v=? a₁ =? а₂ = ?

Решение:

Модуль мгновенной скорости находим как производную от координаты по времени:

Приравниваем скорости двух точек и находим в какой момент времени это произойдет

с

Скорости в этот момент будут равны

м/с

Ускорение есть производная скорости по времени

Таким образом, ускорения точек постоянны во времени и равны

м/с²

м/с²

Ответ: с,м/с,м/с², м/с².

112. На горизонтальной поверхности лежит тело массой 5 кг. Какой путь пройдет это тело за 1 с, если к нему приложить силу 50 Н, образующую угол 60 с горизонтом? Коэффициент трения между телом и поверхностью принять равным 0,2.

Дано:

m = 5 кг

t = 1 c

F = 50 H

α = 60

μ = 0,2

L=?

Решение:

На тело действуют силы: сила тяжести , сила реакции опоры, сила трения, сила. Изобразим их на чертеже, направим оси координат – х – вдоль плоскости горизонта в сторону направления проекции силыF, у – перпендикулярно плоскости вверх.

По второму закону Ньютона

Спроецируем равенство на оси координат

Х: (1)

Y:

Из последнего равенства имеем .

Сила трения равна

Подставим в (1)

Выразим ускорение

Найдем пройденный путь. Движение равноускоренное. Начальная скорость и расстояние равны 0. Тогда скорость равна

Пройденное расстояние

Проверим размерность

[L]= с²·[(кг·м/с²)/кг - м/с²] = м

Вычислим

м

Ответ: 2,4 м.

122. Снаряд, летевший со скоростью 400 м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью 150 м/с. Определить скорость большого осколка (по величине и направлению).

Дано:

v = 400 м/с

m₁ = 0,4m

u₁ = 150 м/с

u₂=?

Решение:

Сопротивлением воздуха пренебрежем. Считаем, что снаряд находится в горизонтальном полете, появлением вертикальной составляющей скорости в результате действия силы тяжести также пренебрежем. В этом случае система замкнутая, суммарный импульс сохраняется. Запишем закон сохранения импульса . Исходя из того, что векторы скоростейипротивонаправлены, очевидно, что вектор скороститакже параллелен первым двум векторам. Примем, что он сонаправлен.

Сделаем чертеж

Спроецируем закон сохранения импульса на направление скорости полета снаряда.

Найдем выражение для скорости большей части снаряда.

Учтем, что

Вычислим м/с

Поскольку скорость получилась положительной, следовательно, направление вектора скорости выбрано верно.

Ответ: 767 м/с.

132. Найти работу, совершаемую при подъеме груза массой 10 кг по наклонной плоскости с углом наклона 45 на расстояние 2 м, если время подъема – 2 с, а коэффициент трения  = 0,1.

Дано:

m = 10 кг

α = 45

L = 2 м

t = 2 с

 = 0,1

А = ?

Решение:

На тело действуют силы: сила тяжести , сила реакции опоры, сила тренияи внешняя сила, которая и будет совершать работу. Изобразим их на чертеже, направим оси координат –х – вдоль плоскости вверх, у – перпендикулярно плоскости вверх.

Тогда по второму закону Ньютона

Спроецируем равенство на оси координат

Х:

Y:

Из последнего равенства имеем .

Подставим в первое уравнение и выразим ускорение тела

Ускорение, с котором будет двигаться тело, найдем из условия для времени подъема. Для равноускоренного движения

Отсюда ускорение тела равно .

Приравняем выражения для ускорения и выразим действующую на тело силу.

По определению работа силы F равна

- перемещение тела, - направление между вектором силы и вектором перемещения.

Проверим размерность

[А]=кг·м·м/с² = Дж

Дж

Ответ: 172 Дж.

142. На барабан радиусом 20 см, момент инерции которого равен 0,1 , намотан шнур, к которому привязан груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом равна 1 м. Найти: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Трением пренебречь.

Дано:

R = 20 см = 0,2 м

I = 0,1

m=0,5 кг

Н = 1 м

t = ? W_K = ?

Решение:

Считаем шнур невесомым и нерастяжимым, тогда сила натяжения шнура Т одинакова во всех точках

Второй закон Ньютона для груза (проецируем на ось ox):

(1)

Угловое ускорение маховика будет равно , (2) гдеR-радиус маховика.

По закону изменения момента импульса системы

,

где L- момент импульса системы, - момент внешних сил, действующих на систему (силаT)

, где - угловая скорость маховика. С учетом того, чтоI постоянно

Подставляем в (1) и находим ускорение

Для равноускоренного движения зависимость пройденного расстояния от времени

Отсюда находим время опускания груза

Вычислим

с

Если скорость груза в начальный момент времени равна нулю, то в момент касания пола она будет равна

.

Кинетическая энергия груза в момент касания

Дж

Ответ: 0,82 Дж.

152. Определить высоту наклонной плоскости, если линейная скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости равна 2,65 м/с. Начальная скорость шара равна нулю.

Дано:

v= 2,65 м/с

h =?

Решение:

Движение шара складывается из поступательного и вращательного движения шара. Следовательно,

W_k= W_{k пост}+ W_{k вр}

Кинетическая энергия поступательного движения

W_{k пост} =

- скорость центра масс, т.е. центра шара, - масса шара.

Кинетическая энергия вращательного движения

W_{k вр} =

- момент инерции шара, - угловая скорость вращения.

Изобразим движение шара. Линейная скорость движения точек шара, которые попеременно соприкасаются с поверхностью, одинакова. Тогда суммарные мгновенные значения скоростей равны:

Обозначим радиус шара R. Тогда

Для сплошного шара

W_k=

Система замкнутая. По закону сохранения энергии

W_k =

Проверим размерность

м

Ответ: 0,50 м.