metodichkaFTUG_chast1

f1 (3, 2),

f2 (1,1)

и

g1

(1, 2), g2 ( 1,1) .

Найти

матрицу

перехода

Tf g от базиса f к базису g

и координаты вектора

a (6,9) в каждом из них.

Решение. Пусть

e1 (1,0), e2

(0,1)

−

стандартный

базис

двумерного пространства R2. Так как

f

3e 2e , f

2

e

e

и

1

1

2

1

2

g1 e1 2e2 , g2 e1

e2 , то матрицы перехода от базиса e

к

базисам f и g имеют вид

3

1

1

1

Te f

,

Te g

.

2

1

2

1

По свойствам 3 и 4 матриц перехода имеем

Tf g Tf e Te g Te 1 f Te g

3 1 1

1

1

2

1

2

1

1

1 1

1

1

2

2 3

.

2

1

4

5

Te 1 f ae

3

1 1

6

1

1

6

3

af

2

.

2

1

9

3

9

15

6

3

1

3 f1T 15 f2T .

Действительно, ae

3

15

9

2

1

ag Tf 1 g af

1 2 1

3

1

5

2

3

5

,

4 5

15

3

4

1

15

1

ag Te 1 g ae

1

1 1

6

1

1

1

6

5

.

2

1

9

3

2 1

9

1

Действительно

6

1

1

ae

5

1

5 g1T 1 g2T .

9

2

1

Пример 4. Матрица перехода от базиса e e1 , e2

к базису

f f1, f2 имеет

вид

Te f

2

3

Найти

координаты

.

3

4

вектора c 2e1 3 e2 и векторов e1 , e2

в базисе f .

Решение.Найдем матрицу T 1

обратную к матрице

e f

перехода Te f :

2 3

1

4

3

Te 1 f

4

.

3

3

2

Так как c 2 e1 3 e2 , то в базисе e

вектор c 2,3 .

Найдем его координаты в базисе f .

cf

Te 1 f ce

4

3 2

17

,

3

2

3

12

c 17 f1 12 f2 .

Так как e1 1 e1 0 e2 , то в базисе e вектор e1

1, 0 .

Найдем его координаты в базисе f

e1f Te 1 f e1e

4

3

1

4

,

3

2

0

3

e1 4 f1 3 f2 .

Так как e2 0 e1

1 e2 , то в базисе e вектор e2

0,1 .

Найдем его координаты в базисе f

2 3

1

0

4

3

0

3

e2f Te 1 f e2e

4

,

3

1

3

2

1

2

а)

a 1,5 ,

b 2, 10 ; б)

a 3,1, 4 ,

b 5, 0,1 ;

в) a 1,1,1 , b 3,3,3 , c 1, 2, 4 .

2.

При каком значении векторы

p 1, 2,1 ,

q 3,1,0 ,

3. Даны:

а) a 2, 3 , b 1, 2 ,

c 9, 4 ;

б) a 3, 2 ,

b 2,1 ,

c 7, 4 ; в) a 1, 2 , b

4,8 , c

3,1 . Можно

а)

a 1,1,1 ,

b 1,1, 2 , c

1, 2,3 ,

x 6,9,14 ;

б)

a 2, 1,1 ,

b 1,3, 2 ,

c 2, 4,1 , x 2,1,3 .

5.

Пусть

e , e

–

базис

пространства

R2 и

1

2

e e e , e 3e 2e .

Показать,

что e , e

– базис

1

1

2

2

1

2

1

2

a e

4e в базисе

e

, e .

1

2

1

2

6. Пусть в трехмерном векторном пространстве R3 задан

ортонормированный

базис

i , j , k .

Показать, что

векторы

e1 i

j 2k ,

e2 2i j ,

e3 i

j k образуют

базис.

2b ; в) a b и a b .

2. Векторы n и m линейно независимы. Являются ли

линейно

зависимыми

векторы

a m 3n ,

b m n ,

c 3m 2n ? Можно ли a

и b

принять за базис? Если да, то

разложить c по векторам a и b .

3.

Найти

матрицу

перехода

от

базиса

e ( 2,1,1), e

(1, 1,3), e

(1, 2, 1)

к

базису

e

( 1, 2,3),

1

2

3

1

e

(2,1, 2), e

(0, 2,1) .

2

3

4.

Пусть

e , e , e

–

базис

пространства

R3

и

1

2

3

e e 2e 2e ,

e

2e e ,

e e e

e .

Показать,

что

1

1

2

3

2

1

2

3

1

2

3

e , e

, e

– базис пространства

R3 . Найти матрицу перехода от

1

2

3

координаты

векторов

x e

4e

e ,

y 2e e e

и

1

2

3

1

2

3

z 2x 3y в обоих базисах.

5. Пусть a , a , a и

b , b , b

– два базиса пространства R3

и

1

2

3

1

2

3

1

0

0

0

2

1

–

матрица

перехода от

первого

базиса

ко

T

1

1

1

второму.

Найти

координаты

векторов

x 2a1 3a2

a3

и

y 3b1

b2

b3

в первом и во втором базисах.

а) a 4,1, 2 ,

b 2,1,1 ,

c 2,3, 1 ; б)

a 5, 2,1 ,

a)

p 2, 2,3 , q 1, 2,3 , r 1,1,1 , a 3,0, 2 ;

б)

p 3, 2,1 , q 1,1, 2 , r 2,1, 3 ,

a 11, 6,5 .

3.

Дан базис e1 , e2 , e3 . Проверить, образуют

ли

базис

следующие

системы

векторов:

а)

e1 e2 ,e2

e3 ,e1 e3 ;

б) e1 e2 ,e2 e3 ,e1 e3 ; в) 3e1,e1 e2 ,e3 e2 .

4.

Убедиться,

что

векторы

а1 1, 2, 3 ,

а2

4, 2, 8 ,

а 1, 4, 1

образуют

базис векторного

пространства

R3 .

3

Найти координаты вектора b 1, 0,5

в базисе a а1, а2 , а3 .

а) а1 1, 2, 3 , а2 4, 2, 8 , а3 1, 4, 1 , b 1, 0,5 ;

б) а1 (1,1,1) ,

а2

(1, 2,1) , а3

(1, 2, 2) ,

b (1,1,0) .

5.

В пространстве

R3

задан вектор x и векторы e , e , e

1

2

3

столбцами

координат

в

базисе

e e1 , e2 , e3

и

вектор

y

1

5

2

2

1

x

4

,

e

1

,

e

3

, e

1

,

у

е

2

.

e

1e

2e

3e

0

3

1

2

1

Найти

координаты

вектора

x

в

базисе

и

координаты

e

1. а) да;

б) нет. 2.

а)

a p 3q 4r ;

б)

a 2 p 3q r .

3. а) да;

б)

нет; в) да.

4.

a) b 2, 0,1 ,

б)

b 1,1, 1 .

5. xe 13

33, 42 33, 7

33 ,

ye 3, 8, 5 .

0

0 0 1

0 1 0 0

1 0

0 0

1 0 0 0

6. а) T

,

б)

T

,

0

1 0 0

0 0 1 0

0

0 1 0

0 0 0 1

1

1

0

0

в) T

0 1

1 0 .

0

0

1

1

0

0

0

1

x x0

y y0

.

(3.2)

l

m

2.

Уравнение

прямой,

проходящей через

две

точки

M1 (x1,

y1 ) и M2 (x2 , y2 ),

лежащие на прямой L.

В качестве

направляющего вектора

прямой можно

взять

вектор

x2 x1,

y2 y1 .

a

M1M2

Тогда искомое уравнение примет

вид:

x x1

y y1

.

(3.3)

x

x

y

2

y

2

1

1

y kx b.

(3.4)

направлением оси Ox). Число b величина отрезка,

который

отсекает прямая на оси Oy.

4.

Уравнение

прямой

L,

проходящей через

точку

M0 (x0 , y0 ), , с нормальным вектором n ( A,

B) :

A(x xo ) B( y yo ) 0 .

(3.5)

Общее уравнение прямой:

Ax By C 0,

ãäå C = - Axo Byo . (3.6)

5.

Уравнение

прямой

в

отрезках,

где a,b числа,

x

y

1.

(3.7)

a

b

коэффициентами y k1x b1 , то угол между прямыми можно

y k

2

x b

2

определить по формуле:

k2

k1

tg

.

(3.8)

1 k

k

2

1

Следовательно,

если прямые параллельны, то k2 k1 ; если

прямые перпендикулярны, то k2k1 1 .

Если прямая задана общим уравнением

Ax By C 0 , то

расстояние от точки

M0 (x0 , y0 ),

до прямой вычисляется по

формуле:

d (M

0 , L)

Ax0 By0 C

.

(3.9)

A2 B2

Пример

1.

Даны

вершины

треугольника

ABC : A 2, 2 , B 1, 2 ,

C 4,10 . Найти:

x 2

y 2

x 2

y 2

,

,

которое

и представляет собой

1 2

2 2

3

4

каноническое уравнение прямой AB .

2)

Из канонического уравнения

прямой

AB

получаем

координаты направляющего вектора

3, 4 , для искомой

AB

высоты

CH вектор

AB является нормальным.

Воспользуемся

уравнением прямой, проходящей через точку C , с нормальным

вектором

AB .

Согласно

(3.5)

получаем

уравнение

M

середины

отрезка

BC

по

формулам:

xM

xB xC

, yM

yB yC

.

2

2

1 4

2 10

5

Имеем

xM

, yM

M

, 4 .

2

2

2

Тогда по формуле (3.3) составим уравнение медианы AM :

x 2

y 2

,

x 2

y 2

4x 9 y 26 0 .

5

2

4 2

9

2

2

2

4) Для нахождения координат точки

N пересечения высоты

CH и медианы AM составляем систему уравнений

3, 4

4

6,8

AB

3

AC

3

4

AB0

,

; AC0

,

.

AB

32 4 2

5

5

AC

62 82

5

5

биссектрисой угла BAC. Таким

образом получим

координаты

направляющего

вектора

биссектрисы

AL :

3

4

3

4

6

l AB0 AC0

,

,

, 0

.

5

5

5

5

5

x 2

y 2

y 2 0.

6

0

5

нормальными векторами n1, n2 .

,

cos

n1

n2

31 5 5

28

14

.

n1

n2

32 52

12 52

34

26

221

уравнению (3.6):

3

x y 2 0 .

3

Найдем найти расстояние от точки M 0, 2 до прямой по

3

0 2 2

3

формуле (3.9):

d (M , L)

2 3 .

2

3

1 2

3

Пример 4.

Найти точку

M ,

симметричную точке N 5,5