metodichkaFTUG_chast2
.pdf5. Предел и непрерывность функции
5.1. Предел функции в точке и на бесконечности
Определение по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в точке х0, если функция определена в некоторой выколотой окрестности точки х0 и если для любого сколь угодно малого числа
0 существует такое число |
|
( ), |
что для |
всех |
х, |
||||
удовлетворяющих условию |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x x0 |
|
, |
|
(5.1) |
|||
|
|
|
|
||||||
выполняется |
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) А |
|
. |
|
|
|
(5.2) |
||
|
|
|
|
|
|||||
Тот факт, что А является пределом функции |
y f (x) |
в точке |
x0 |
||||||
записывается в виде lim f (x) A . |
|
|
|
|
|
||||
x x0 |
|
|
|
|
|
Число А называется пределом функции на бесконечности (при
x или |
|
x ), |
если для любого сколь угодно малого числа |
||||||
0 существует такое положительное число M M что для |
|||||||||
всех х, удовлетворяющих условию |
|
x |
|
M , выполняется |
|||||
|
|
||||||||
неравенство |
|
f (x) А |
|
. Это записывают так: |
|||||
|
|
||||||||
|
|
lim |
f (x) А или lim |
f (x) А. |
|||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
Функция f(x) имеет бесконечный предел при x x0 (x ), (и
называется бесконечно большой) если для любого сколь угодно
большого |
числа М > 0 |
существует такое положительное число |
||
, |
|
|
|
|
что для всех |
х, удовлетворяющих условию |
x x0 |
|
), выполняется неравенство |
|
f (x) |
|
М . Это записывают так: |
|||
( |
x |
|
|
|||||
|
|
lim |
f x ( lim f (x) ). |
|||||
|
|
x x0 |
|
x |
||||
|
|
Функция f(x) |
называется бесконечно малой при x x0 |
|||||
(x ), если lim |
f (x) 0 ( lim |
f (x) 0). |
||||||
|
|
x x0 |
x |
|
|
|
|
50
Свойства предела функции в точке
1.Если функция имеет предел в точке, то он единственный.
2.Функция f(x) имеющая конечный предел в точке х0 ограничена в окрестности этой точки.
3.Если существует предел функции f(x) в точке х0, равный числу А( А 0), то существует такая окрестность точки х0, на которой
функция имеет тот же знак, что и число А.
4. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке х0, то:
lim Cf (x) C lim f (x), |
где C const; |
|||||
x x0 |
|
x x0 |
|
|
||
lim ( f (x) g(x)) lim |
|
f (x) lim g(x); |
||||
x x0 |
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
lim ( f (x) g(x)) lim f (x) lim g(x); |
||||||
x x0 |
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
f (x) |
|
lim f (x) |
|
||
lim |
|
x x0 |
|
, где lim g(x) 0. |
||
g(x) |
lim g(x) |
|||||
x x0 |
|
x x0 |
||||
|
|
|
x x0 |
|
|
(5.3)
(5.4)
(5.5)
Аналогичные свойства верны и для предела функции на бесконечности. Если в результате непосредственного использования
формул (5.3) – (5.5) возникают неопределенности типа 00 , , 0 ,
, то вначале необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела (то же для неопределенностей 1 , 00 , 0 ).
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
1. Число А является пределом функции f(x) в точке х0 тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая функция (x) при
x x0 такая, что |
f (x) А (x).(Это означает, что функция |
отличается от своего предела в точке х0 на бесконечно малую величину).
2. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых (бесконечно больших) функций при x x0 является бесконечно малой (бесконечно большой) функцией.
51
3. Произведение бесконечно малой функции при x x0 на ограниченную функцию является бесконечно малой.
4.Частное при делении постоянной С, С 0, на бесконечно малую функцию при x x0 является бесконечно большой при x x0.
5.Частное при делении постоянной С на бесконечно большую функцию при x x0 является бесконечно малой при x x0.
При вычислении пределов функций удобно применять метод
замены переменной, т. е. |
|
|
|
lim f (g(x)) lim f ( y) , где |
y g(x) , если |
lim g(x) y0 . |
|
x x0 |
y y0 |
|
x x0 |
Пример 1. Пользуясь определением предела функции в точке по Коши,
доказать, что |
lim |
2x 2 |
5x 3 |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
Зафиксируем |
|
произвольное |
значение |
0. |
|
Согласно |
|||||||||||||||||||||||||||||
определению, требуется по |
|
найти такое число 0, чтобы из условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
x 3 |
|
следовало неравенство (5.2), которое в данном случае имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 5x 3 |
7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2(x 1)(x 3) |
7 |
|
. Откуда, |
|||||||||||||||||||||||||||
Упрощая последнее неравенство, |
получим: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поскольку x 3 , имеем: |
|
2x 1 7 |
|
, |
|
2(x 3) |
|
. Получаем: |
|
x 3 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, если принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
, то из неравенства |
x 3 |
|
будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 |
5x 3 |
7 . |
|
|
||||||
следовать неравенство (5.6). Это и означает, что |
lim |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) lim |
5x |
2 9x 2 |
, 2) lim |
|
5x |
2 9x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x x 2 |
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 2 2 |
|
|
|
|
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1) При подстановке в выражение, стоящее под знаком предела, значения x 2 получаем
52
5( 2)2 9( 2) 2 |
|
20 18 2 |
|
4 |
|
1 |
. |
||
2 ( 2) |
( 2)2 |
2 2 4 |
8 |
2 |
|||||
|
|
|
|
2)При подстановке в выражение, стоящее под знаком предела, значения
x2 получаем неопределенность вида 00 , для раскрытия которой
разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
5x2 9x 2 x 2 5x 1 ; |
|
2 x x2 x 2 1 x . |
||||||||||||||
Подставив полученные выражения, получим: |
|
|
||||||||||||||
lim |
(x 2)(5x 1) |
lim |
5x 1 |
|
10 1 |
|
|
11 |
. |
|||||||
x 2 1 x |
1 x |
|
|
1 2 |
|
|
|
|||||||||
x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
Пример 3. Вычислить lim |
|
|
2 |
ln(1 x))sin |
1 |
|
|
|||||||||
|
(x |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Решение. |
Представим функцию |
f (x) (x2 ln(1 x)) sin |
1 |
как |
|||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
произведение двух функций (x) x2 ln(1 x) и x sin |
1 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
Функция (x) x2 |
ln(1 x) |
является суммой двух бесконечно малых |
|||||||
функций при |
x 0, |
так как |
lim x2 0 |
и lim ln(1 x) ln1 0. |
Значит, |
||||
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|||
(x) – бесконечно малая функция при x 0. |
|
|
Функция (x) sin 1x является ограниченной, так как значения этой
функции будут лежать в промежутке 1; 1 . Получаем произведение бесконечно малой функции (x) на ограниченную (x). Значит функция
f(x) – есть бесконечно малая при x 0, |
т.е. lim f (x) 0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
Пример 4. Вычислить предел функции: |
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 х 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) lim |
|
|
|
2) lim x( |
|
x 2 |
x 3). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 2 |
х5 2 х3 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
Решение. 1) Непосредственная подстановка в выражение, стоящее под знаком предела, значения x 2 дает неопределенность 00 . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом:
53
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10 х) |
2 |
|
2 |
|
10 х 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
10 х 2 |
|
|
|
|
х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
х |
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
(10 |
х) |
|
|
|
|
10 |
х 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 х 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10 |
х) |
|
10 х |
4 |
|
|
|
|
х |
(10 |
|
х) |
|
|
|
х 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
х 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Возвращаясь к пределу, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 4 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 3 |
х |
3 |
(10 |
х) |
2 |
|
3 |
|
10 х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2) |
|
|
|
При |
|
|
непосредственном |
|
|
|
|
|
вычислении |
|
|
предела |
|
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенность |
|
вида . |
Чтобы |
|
избавиться |
от |
нее, домножим и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделим выражение на |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
x ( |
|
x 2 |
|
x 3)( |
|
x 2 |
x 3) |
lim |
|
x (x 2 x 3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
x 2 x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
x |
|
|
1 0 1 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для решения в аудитории |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
I уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.1. Постройте график какой-либо функции, если известно, что: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) ее предел при |
x равен 2; |
|
2) она не имеет предела при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ; 3) ее предел при |
x равен 1, а при x равен – 2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ее предел при x 1 0 равен , а при при x 1 0 |
равен ; 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ее предел при при x 2 0 |
|
|
равен , а при x 2 0 |
равен . |
1.2. Вычислите предел функции в точке:
|
|
3 |
|
1 |
|
5x2 |
2x 3 |
|
|
x2 |
||
1) |
lim x |
|
3x |
|
; 2) |
lim |
|
|
; |
3) lim |
|
; |
|
x 3 |
|
|
x2 |
|
x 1 x2 4x 7 |
|
x 5 |
2x 10 |
54
|
|
x2 |
|
|
|
5x2 |
2x 3 |
|
|
x2 x 6 |
|
|
||||||||
4) lim |
|
; |
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2x 10 |
|
x x2 4x 7 |
x x3 x2 |
4x 4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
9) lim |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
; |
|
|
|
x 1 3 |
; |
|
|
|
||||||||||
7) lim |
|
8) lim |
|
|
|
3x 4 |
|
x 2 |
||||||||||||
x 2 x3 x2 4x 4 |
|
x |
8 |
x2 64 |
x |
|
|
|
|
|
|
II уровень
2.1. Пользуясь определением предела функции в точке докажите, что:
1) |
lim x 3 3 ; |
2) |
lim |
x2 7x 6 |
5; |
3) lim 2x 9 5 ; |
|||||||||
|
x 6 |
||||||||||||||
|
x 0 |
|
x 6 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim (5 2x) 15; |
5) |
lim |
|
|
3; |
|
6) lim |
1 x 2 |
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 5 |
|
x x2 |
4 |
|
|
x 3 |
|
x 3 |
|
4 |
|
2.2. Вычислите предел функции в точке:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
lim |
|
|
|
3 4x 2 |
|
|
|
|
; |
2) lim |
|
x2 x |
; |
|
3) lim |
|
|
8x3 1 |
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 5x 1 |
|||||||||||||||||
|
x 2 |
|
2 x |
2x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x2 x 1 |
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4) |
lim |
|
; |
5) lim |
|
|
; |
|
|
6) lim |
|
|
x 13 4 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 9 |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7) |
lim |
|
|
|
x |
; |
8) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
4 x3 x x |
|
|
|
x 3 |
|
х 3 |
х |
|
х 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) lim |
|
x4 3x2 4 |
; 10) lim |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
4 |
13x |
2 |
36 |
|
|
x |
2 |
|
||||||
x 2 |
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|
х 2 |
|
2.3. Вычислите предел функции на бесконечности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
x5 3 x |
|
x(x2 2) |
; 2) |
|
arctg x |
|
3) lim |
3x 2x |
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
; |
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
x e x 2 |
|
x |
arctg x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
2 x 5 3x 1 |
|
|||
4) |
lim x( |
1 27x |
3 |
|
3x); |
|
5) |
lim |
; |
6) |
lim |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
3x 1 |
5x 1 |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 9 ... 3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
lim |
|
x2 |
|
|
3x 16x6 1 |
; |
8) |
lim |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 4 |
|
3 x6 3 |
5 x 1 2 3x 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
55
Задания для самостоятельного решения
Вычислите предел функции в точке:
1. |
lim |
|
|
2x 3 |
. |
|
6. |
lim |
|
|
|
|
x2 x 12 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
3x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x x |
|
|
|
x 3 |
9 x |
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
9x |
2 |
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 8 |
|
|
x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
lim |
x2 6x 7 |
. |
|
|
8. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 x |
2 |
5x 4 |
|
|
lim |
|
7 |
|
x2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 7 x |
|
|
|
49 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4. |
lim |
|
|
2 x 1 |
; |
|
|
|
|
|
9. |
lim |
|
|
|
cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x arcctg x |
|
|
|
|
|
|
|
x x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
4x 2 3x 1 5 x |
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
lim |
; |
10. |
lim |
3 x2 2 3 |
x3 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
2 4x 1 3x 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Замечательные пределы Эквивалентность бесконечно малых функций
При вычислении пределов в случае неопределенностей часто используют специальные формулы, которые называются замечательными пределами.
Первый замечательный предел |
|
|
||
lim |
sin x |
1. |
(5.7) |
|
x |
||||
x 0 |
|
|
Как следствие формулы (5.7), справедливы формулы:
lim |
x |
1, lim |
sin x n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
x 0 sin x |
x 0 |
|
x |
|
|
|||
lim |
x |
1, lim |
tg x |
|
1, |
|||
|
|
|
||||||
x 0 tg x |
x 0 |
|
x |
|
|
1, n N, |
|
|
lim |
arcsinx |
|
1, |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
||
lim |
tg x n |
1, n N, |
lim |
arctg x |
1. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
x 0 |
x |
|
|
x 0 |
x |
|
Второй замечательный предел
56
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e, |
|
|
|
|
|
|
|
loga 1 x |
|
|||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
(5.8) |
|
|
lim |
|
|
loga e, (5.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||
lim 1 x |
|
|
e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в частности, lim |
ln 1 x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ax 1 |
ln a, |
|
(5.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||
в частности, |
|
lim |
|
ex 1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 x 1 . |
|
(5.11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
Указанные формулы (5.7) – (5.11) замечательных пределов обобщаются на любую функцию u(x), стоящую вместо независимой
переменной х при условии, что u x 0, если x x0 (или x ) во всех формулах, кроме (5.8), в которой u x .
Обобщенная таблица замечательных пределов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin u(x) |
|
1; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u( x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
u( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
e; |
|
lim 1 u(x) |
|
|
e; |
|||||||||
|
|
|
|
u( x) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
u( x) |
|
u(x) |
|
|
u( x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
loga (1 u(x)) |
loga e; |
lim |
ln(1 u(x)) |
1; |
|||||||||||||||
|
u(x) |
u(x) |
|
|
|
|||||||||||||||
u( x) 0 |
|
|
|
u( x) 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
au ( x) 1 |
ln a; |
|
lim |
|
eu ( x) 1 |
1; |
|
|
||||||||||
|
u(x) |
|
|
|
u(x) |
|
|
|
||||||||||||
u ( x) 0 |
|
|
|
|
u ( x) 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(1 u(x))2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
u ( x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
При использовании обобщенных формул на практике вместо
57
u(x) 0 |
(u(x) ) под знаком предела пишут указанное в |
условии: х х0 ( х ).
Все приведенные формулы обобщенной таблицы замечательных пределов (кроме формул (5.12)) раскрывают неопределенность вида
|
0 |
. Формулы (5.12) раскрывают неопределенность вида 1 . |
||||
0 |
||||||
Две функции f x и |
g x называются эквивалентными |
|||||
|
|
|||||
бесконечно малыми, при x x0 |
x , если |
|||||
|
|
lim |
f x |
1, |
||
|
|
|
||||
|
|
x x0 |
g x |
|||
|
|
x |
|
|
это записывают так: f x ~ g x при x x0 x .
При вычислении пределов функций в точке и на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если их или хотя бы одну из них заменить эквивалентными.
Следствие. В произведении можно заменять функциюсомножитель на эквивалентную ей – более простую для вычисления предела.
Таблица эквивалентных бесконечно малых |
|
|||
Пусть u x 0 , |
если x x0 |
x . Тогда |
справедливы |
|
следующие эквивалентности: |
|
|
|
|
|
sin u x ~ u x ; |
|
(5.16) |
|
|
tg u x ~ u x ; |
|
(5.17) |
|
|
arcsin u x ~ u x ; |
|
(5.18) |
|
|
arctg u x ~ u x ; |
|
(5.19) |
|
|
cos u x ~ 1 u x 2 |
; |
(5.20) |
|
|
|
2 |
|
|
58
loga 1 u x ~ u x loga e;
ln 1 u x ~ u x ;
au x 1 ~ u x ln a;
eu x 1 ~ u x ;
(5.21)
(5.22)
|
|
|
1 u(x) 1 ~ u x . |
(5.23) |
|||||
Пример 1. Вычислить предел функций в точке: |
|
||||||||
1) lim |
tg5x |
; |
2) lim |
1 cos x |
; |
3) lim |
sin x sin 5x |
. |
|
x 0 2x |
|
x 0 3x2 x 1 |
|
x 0 |
arctg7x |
|
Решение. 1) Воспользуемся следствием из первого замечательного предела. При непосредственной подстановке в функцию значения x 0
получаем неопределенность вида |
0 |
, |
для раскрытия которой воспользуемся |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
первым замечательным пределом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
sin 5x |
lim |
sin 5x |
|
5 |
|
|
5 |
lim |
sin 5x |
|
|
x 0 5x 0 |
|
|
5 |
. |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 0 |
2x |
|
x 0 |
2x 5 |
|
2 x 0 |
5x |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) При |
x 0 получаем |
неопределенность вида |
, для |
раскрытия |
|||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которой сначала применим формулы тригонометрии, а затем первый замечательный предел:
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 x |
|
|
|
2sin |
2 x |
|
|
sin |
x |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
1 cos x |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
3x |
|
|
x 1 |
|
3 |
|
x |
|
x |
1 |
|
3 x 0 |
2 4 |
|
|
6 |
|
x |
|
x |
|
|
|
6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3) Преобразуем вначале разность синусов в произведение, а затем
используем первый замечательный предел и следствие из него: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin x sin 5x |
|
|
2sin |
|
|
cos |
|
|
|
sin 2x cos3x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
lim |
|
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
||||||||||||||
arctg7x |
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
|
arctg7x |
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
7x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 lim |
sin 2x cos3x |
2 lim |
sin 2x 2 cos3x |
|
4 |
lim cos3x |
4 |
. |
|||||||||||||||
|
|
arctg7x |
|
|
|
|
7 |
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
7x |
|
|
x 0 |
7 2x |
|
|
|
7 x 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59