metodichkaFTUG_chast2
.pdf2.2. Пользуясь правилом логарифмического дифференцирования найдите производную:
1) |
y ln x tgx ; |
2) |
y ctg5x x3 1 ; |
3) y chx arcsin3x ; |
||||||||||||
|
|
|
|
7x4 3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
5 |
|
|
|
7 x 4 3 |
; 6) y 5 |
x |
3 3 |
x2 |
. |
|||||
4) |
x |
5) |
y |
|||||||||||||
|
|
x 2 2 x 7 5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
6 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2.3. Известно, что |
|
f (x) |
|
|
x3 1 и |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
значение выражения |
f (x0 ), где x0 |
g (0). |
|||||||||||||||
|
2.4. Докажите тождество: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
f (x) 2xf (x) |
|
f (0) |
f (0) 1, если f (x) |
|||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (x) f (x) f |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
|
|
|
|
0, если |
|
f (x) ln |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.5. Решите неравенство f x g x , где: |
||||||||||||||||
1) f x x2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
2, g x 3x2 x 2. |
|||||||||||||||||
2) |
f x x ln x 5 , g x ln x 1 . |
|
|
|
|
|
g(x) x e x . Найдите
3ex2 ;
x.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти производную функции:
|
|
4 |
|
x3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y x7 5x3 |
11 sin 7x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
y |
|
|
|
|
|
x 6 |
|
x 9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
5 |
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y x4 cos x ln x ; |
|
|
|
|
|
y (2x2 4x 3)8 ; |
|
|
|
y |
|
5 x2 |
||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
4) |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y sin3 5x2 ; |
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
|
|||
6) |
y 5 |
(2x2 4x3 )4 ; |
|
|
|
|
7) |
8) |
y arcsin |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y lg4 x5 sin 6 2x ; |
|
|
|
|
|
|||||||
9) |
y e x2 |
arctg x3 1 ; |
10) |
|
|
7x4 3x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 3 5 x 2 3 |
|
|
|
|
y 3 x4 ctg ex |
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||
11) |
y |
; |
|
|
12) |
; |
13) y |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
2. Вычислите производную функции при заданном значении аргумента:
90
1) f (t) t2 e2t , t |
|
0; |
|
|
|
|
|
0 |
2) f (x) (x 1) x2 1, x 2; |
||||||
|
|
0 |
|
|
3) f (x) ln cos x, |
x |
; |
4) f (t) sin t cos2 t, t |
0 |
0; |
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
f ( y) ecos 2 y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
f (x) arctg |
|
, x |
1 |
|
|
||||
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
f (x) arccos |
1 x , |
x |
|
|
|
. |
|
8) |
y arctg |
5x 1 x ln x, |
x 1; |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
y ex (ch2x 2sh2x), |
x |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
4arcsin |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10) |
4 x2 |
x |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) |
y ex2 1 ln(x2 |
3), |
x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Необходимое и достаточное условия
дифференцируемости функций. Дифференциал функции
Уравнение |
|
F x, y 0 |
(6.7) |
задает неявно функцию y f x , если при подстановке выражения f(x) вместо y в уравнение (6.7) оно превращается в тождество. Предположим, что функция y f x дифференцируема и требуется вычислить производную y x .
Дифференцируют уравнение (6.7) по x, считая, что y есть функция
от x. Получают новое уравнение, содержащее x, y и |
y . Из него |
||
находят y x . |
|
|
|
Пусть функция y y x |
задана параметрически уравнениями: |
||
|
x t , |
|
|
|
|
|
|
|
y t , t ; , |
(6.8) |
|
|
|
|
|
|
|
дифференцируемы для любого t ; , |
|
где функции t |
и t |
91
причем t 0, |
и требуется найти y x . |
|
|||||
Используют формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
t |
. |
(6.9) |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
x |
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное |
таким образом |
выражение для y |
зависит от |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
переменной t. Если возможно (и необходимо) из первого уравнения системы (6.8) выражают t через х и подставляют в выражение,
полученное для y x .
|
Пример 1. Найти производную y |
x функции: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3t 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln 1 t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) |
y t |
2 |
t 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y arctg t. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
Решение. 1) Используем формулу (6.9): y |
|
t 1 |
|
2t 1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В полученное выражение подставив t |
x 2 |
, получим: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 4 3 |
|
|
2x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) Воспользуемся формулой (6.9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
3 |
|
' |
|
|
|
3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t |
1 t3 |
1 t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Подставляя выражения в формулу (6.9), получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
3t 2 |
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя t 3ex 1, получим:
92
|
|
|
1 3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 3 ex |
1 |
3 ex 1 |
|
|
33 ex 1 |
3 |
ex 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить значение производной параметрически заданной
|
x cos t, |
|
|
|
|
функции |
|
|
в точке t0 |
. |
|
|
2 t |
|
|||
|
y 4sin |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Функция y f x задана параметрически. Дифференцируем ее, используя формулу (6.9).
Вычислим: xt cost sin t,
y 4sin t 4 sin t 4 2sin t sin t 4 2sin t cos t 4sin 2t.
|
|
Подставим полученные выражения в формулу (6.9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
yt |
|
|
4sin 2t |
8cos t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
xt |
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Найдем значение производной в заданной точке. Подставим значение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
0 |
|
|
в полученное выражение: |
y |
8cos |
, т. е. |
|
y |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример 3. Вычислить y x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1) x 1 2 |
|
cos x 3 |
|
; |
|
|
2) arctg |
y |
|
1 |
ln |
x2 |
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. 1) Данное уравнение задает неявно функцию |
y f x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Продифференцируем обе части уравнения по переменной х, считая, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у есть функция от х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 1 |
|
cos x 3 y |
; |
|
|
2 x 1 sin x 3 |
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Откуда выразим y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
y 33 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x 3 |
|
|
|
|
sin x 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
33 y2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При необходимости можем выразить у через х из заданного равенства и подставить в полученное выражение.
93
2) Функция y y x задана неявно, дифференцируем обе части равенства, учитывая, что y есть функция аргумента x:
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
; |
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
2 |
x |
2 |
y |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
|
|
|
|
|
y x x y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 y2 |
|
|
|
x2 |
|
|
2 x2 y2 2x 2 y y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Из полученного равенства выразим |
y x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xy y |
|
|
x yy |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
xy y x yy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y x y x y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Приходим к ответу: |
y |
|
x y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , |
если ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приращение f в этой точке может быть представлено в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) A x o( x), |
|
|
|
|
|
|
(6.10) |
|||||||||||||||||||
где |
lim |
o( x) |
0, |
A R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.11) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке x0 , |
необходимо и достаточно, |
чтобы в точке x0 |
|
существовала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производная и в равенстве (6.10) выполнялось условие |
|
f (x) A. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Понятие дифференцируемости функции эквивалентно равенству |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x o( x), |
|
|
(6.12) |
|||||||||||||||||||||||||||||
где |
f (x0 ) x – главная |
часть приращения |
|
функции, |
|
а |
для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно малой o( x) выполняется (6.11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дифференциалом функции f(x) в точке x0 , |
называется главная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
часть f (x0 ) x |
приращения функции. Дифференциал обозначается |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
символом df (x0 ) |
|
и по определению равен df (x0 ) f (x0 ) x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В частности, для функции f (x) x |
получим dx x. |
|
|
|
|
|
Тогда определение дифференциала имеет вид:
94
|
df (x0 ) f '(x0 )dx. |
(6.13) |
|
Свойства дифференциала |
|
||
Пусть u u(x), |
v v(x) |
– дифференцируемые |
функции на |
некотором множестве X R. |
Тогда: |
|
1)d(c) 0, c const;
2)d(cu) cdu, c const;
3)d(u v) du dv;
4)d(uv) udv vdu;
|
u |
|
udv vdu |
, v 0; |
|||
5) |
d |
|
|
|
|
||
|
v |
2 |
|||||
|
v |
|
|
|
6)df (u) f '(u)du, где f(u) – сложная функция,
дифференцируемая |
по |
переменной |
u u(x) |
(свойство |
инвариантности дифференциала), т. е. du u '(x)dx. |
|
При достаточно малом значении x приращение функции с большой степенью точности можно заменить дифференциалом функции:
f (x0 x) f (x0 ) f '(x0 ) x |
|
или f (x0 x) f '(x0 )dx f (x0 ). |
(6.14) |
Формулу (6.14) используют в приближенных вычислениях. |
С геометрической точки зрения дифференциал функции dy равен приращению ординаты касательной к кривой y f (x) в точке
x0 , f (x0 ) , когда аргумент получает приращение x.
Пример 1. Вычислить при x0 2 и x 0,1 значение дифференциала функции y x3 x2 3x.
Решение. Дифференциал функции вычислим по формуле (6.13). Найдем y '(x) : y '(x) x3 x2 3x ' 3x2 2x 3.
Найдем y '(x0 ) : y '(x0 ) y '(2) 3 22 2 2 3 11. dx x 0,1.
Подставляя найденные значения в формулу (6.13), получим, dy y '(2) x 11 0,1 1,1.
95
Пример 2. Вычислить дифференциал функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos t, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
1) |
|
f (x) tg |
|
|
(x |
|
1); |
|
|
|
|
|
|
|
2) y ln t; |
|
|
3) |
y |
|
|
2 yx x |
|
|
0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. 1) Найдем |
f x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|||
|
|
x tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f |
|
|
x |
|
|
2tg x |
|
|
2tg x |
|
1 cos2 x3 |
1 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Подставляя полученное выражение в формулу (6.13), получим: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
df x |
|
6x2 tg x3 |
|
1 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 |
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) |
Функция |
|
y f x задана |
параметрически. |
|
Дифференцируем |
ее, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
используя формулу (6.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Вычислим: xt |
cost |
sin t, |
yt |
|
ln t |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Подставим полученные выражения в формулу (6.9): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yt |
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Выразим |
|
|
из |
|
первого |
|
уравнения |
системы |
переменную t |
через |
x: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t arccos x , из основного тригонометрического тождества выразим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sint |
|
|
1 cos2 t |
|
1 x2 , x cost по |
условию, |
и |
|
|
подставим |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производную и в формулу (6.13) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 arccos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3) Функция y y x |
задана в неявном виде уравнением |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y2 2xy x3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Дифференцируем обе части уравнения, считая, что y y x : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 y x 2 yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 yy 2xy 2 y 3x2 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y 2 y 2x 2 y 3x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Выразим y : |
|
y |
2 y 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
|
По формуле (6.13), получим: |
dy |
2 y 3x2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 y 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала |
||||||||||||||||||||||||
значение выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) cos47 . |
|
|
|
|
|
|||||
1) 3 8, 009; |
|
|
|
2) ln 0,97; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. 1) Воспользуемся формулой (6.14) для функции y 3 |
x |
при |
||||||||||||||||||||||
x 8 0,009. Считаем, |
что x0 8, |
x 0,009. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим f (x ) 3 |
8 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
1 ; |
f (x0 ) f (8) |
1 1 |
1 . |
|||||||||||||||||||
|
Найдем f (x) x3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 x2 |
|
|
|
33 |
64 |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Тогда: 3 8, 009 |
0, 009 2 2, 00075. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Таким образом, |
3 8,009 2,00075. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2) Будем находить приближенное значение функции |
y(x) ln(x) в |
|||||||||||||||||||||||
точке x 0,97 по формуле (6.14). Обозначим |
x 0,97 1 ( 0, 03), откуда |
x0 1, x 0,03.
Найдем значение |
f (x0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (1) ln1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим производную функции |
f (x) : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (x) |
1 |
, |
откуда |
f (x0 ) |
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив |
найденные |
|
значения |
в формулу |
|
(6.14), получим |
||||||||||||||||
ln(0,97) 1 ( 0, 03) 0 0, 03. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, получим ответ ln(0,97) 0, 03. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) Необходимо найти приближенное значение функции |
f (x) cos x в |
|||||||||||||||||||||
точке x 47 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представим x 47 45 2 |
|
|
, |
откуда x0 |
|
, |
x |
|
. |
|||||||||||||
90 |
4 |
90 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда f (x0 ) f |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку |
f '(x) (cos x) ' sin x, то |
|
|
|
|
|
|
97
f (x |
) |
f |
|
sin |
|
2 |
. |
|
|
||||||
0 |
|
|
4 |
2 |
|
||
|
|
4 |
|
|
Тогда по формуле (17.11) получим:
cos 47 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
0, 6824. |
|
2 |
90 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
Итак, cos 47 0,6824.
Пример 4. Куб со стороной а = 10 увеличился на 0,05 своего объема. Вычислить приближенно приращение ребра куба.
Решение. Объем куба со стороной a вычисляется по формуле V a3. Поэтому первоначальный объем куба равен V (10) 1000. По условию
приращение объема куба равно 0,05 всего объема, т. е.
V 0,05V 0,05 1000 50.
Так как V dV, то dV 50.
Дифференциал функции вычисляем по формуле (6.13), т. е.
dV V (a) a, откуда a |
dV |
. |
|
|
|
||
|
V (a) |
|
|
Вычислим значение производной V 3a2 |
для a 10 : |
||
V (10) 3 102 300. |
|
|
|
Теперь находим a 30050 0,17.
Таким образом, ребро куба увеличилось приблизительно на 0,17.
Задания для решения в аудитории
I уровень
1.1. Найдите производную функции, заданной параметрически:
|
x t |
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
e ; |
|
|
2t; |
|
x |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
|
|
|
2) |
x 1 |
|
3) |
x t |
|
4) |
|
|||||||||
|
y t |
3 |
t |
6 |
2; |
|
|
at |
|
|
|
|
1 . |
|
cost |
|
||||
|
|
|
|
|
y at e |
. |
|
y ln t |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y tg t. |
|
1.2. Найдите производную неявно заданной функции:
1) x3 y3 8. |
2) |
x4 6x2 y2 9 y4 |
5x2 15y2 100 0. |
3) ex e y 2xy 1 0. |
4) ln x y x2 ; |
5) 2y ln y x. |
98
|
1.3. Вычислите дифференциал функции y f (x) |
в точке x0 при |
|||||||||||||||||||
заданном значении x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
y cos2 x, x |
|
, x 0,03; |
2) |
y ln tg 2x, x |
|
, x 0,01; |
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
y ln sin 2x, x |
, x 0,01; |
4) |
y ln |
|
|
, x , x 0,04. |
||||||||||||||
cos 2x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.4. Вычислите дифференциал функции: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||
1) |
y ln 3x |
|
|
|
9x |
|
1 . |
2) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
||
3) |
y arctg |
1 |
; |
|
|
|
|
4) |
y arcsin |
|
|
2x3 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 x6 |
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IIуровень
2.1.Найдите производную
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln t arccos t |
2 |
, |
|||||||
1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
t |
4 |
2t 3; |
|
|||
|
|
|
|
|
3)x arcsin t ,
y t t 2 .
2.2.Найдите производную
y :
x
2) |
y sin t t cost, |
||
|
x cost t sin t. |
||
|
|
t |
|
4) |
x e |
|
cost, |
|
|
|
|
|
y et sin t. |
||
|
|
|
|
y x функции, заданной неявно:
1) |
yx 2 x3 |
4 y3 5; |
|
2) x2 sin y y3 cos x 2x 3y 1 0; |
||||||
|
tg2 x y 4x; |
|
4) sin y x2 ln y x2 2 |
|
3 0; |
|||||
3) |
|
y x2 |
||||||||
5) y x2 |
|
6) y2 |
x y |
; |
|
|
|
|
||
|
x y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Вычислите производную в точке x0 следующих функции: |
|||||||||
|
x t ln t, |
|
|
|
|
x t arctg t, |
||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 1; |
|
|
|
2) |
|
x 0; |
||||
|
y cht, |
|
|
|
y et , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3) |
x 1 arcsin y exy 1, x0 |
1; |
4) tgx tg y y3 ln y 1, x0 0. |
99